El período de Pisano, denotado [math] \ pi (n) [/ math] es el período de la secuencia de Fibonacci módulo [math] n. [/ Math] (Tenga en cuenta que este uso del símbolo π no tiene nada que ver con el número π .)
Un ejemplo. Comienza la secuencia de Fibonacci
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89144…
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Mire estos números módulo [matemáticas] n = 5, [/ matemáticas] es decir, reemplace cada número por su resto después de dividir entre 5. Obtendrá
0 1 1 2 3 0 3 3 1 4 0 4 4 3 2 0 2 2 4 1 0 1 1 2 3 …
Cada uno es la suma de los dos números anteriores módulo 5. La secuencia se repite después de 20 números comenzando con los números subrayados, por lo que [math] \ pi (5) = 20. [/ math] Tenga en cuenta que dado que cada número depende del precedente dos, y solo hay 25 pares de números posibles para los dos números anteriores, sabemos que eventualmente se repetirá con un período no mayor a 25.
Al generalizar ese argumento, podemos concluir que [matemáticas] \ pi (n) \ leq n ^ 2. [/ Matemáticas] Es decir, el período de Pisano tiene que existir ya que está limitado por [matemáticas] n ^ 2. [/ matemáticas]
