La respuesta de Kimtee Goh está en el lugar, sin embargo, olvidaron un paso crucial que es probar la razón por la cual [matemáticas] 7 ^ {16} \ equiv 1 \ (mod \ 17) [/ matemáticas].
Esto sucede debido al pequeño teorema de Fermat , que establece que, dados dos números enteros positivos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática], de modo que [matemática] p [/ matemática] es primo, siempre tener [matemáticas] a ^ {p – 1} \ equiv 1 \ (mod \ p) [/ matemáticas]
Por lo tanto, cuando [matemática] a = 7 [/ matemática] y [matemática] p = 17 [/ matemática], tenemos [matemática] 7 ^ {16} \ equiv 1 \ (mod \ 17) [/ matemática]
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Además, siendo un poco más riguroso, solo para probar el resto de la pregunta:
[matemática] 17 \ equiv 1 \ (mod \ 16) [/ matemática], entonces [matemática] 17 ^ k \ equiv 1 \ (mod \ 16) [/ matemática] para todos los enteros positivos [matemática] k [/ matemática] .
Por lo tanto, [matemáticas] 17 ^ {37 ^ {47}} [/ matemáticas] es un número de la forma [matemáticas] 16k + 1 [/ matemáticas]; por lo tanto, tenemos que [matemáticas] 7 ^ {17 ^ {37 ^ {47}}} [/ matemáticas] es un número de la forma [matemáticas] 7 ^ {16k + 1} [/ matemáticas].
Ahora, [matemáticas] 7 ^ {16} \ equiv 1 \ (mod \ 17) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (7 ^ {16}) ^ k [/ matemáticas], o [matemáticas] 7 ^ {16k } [/ math], también es un número congruente con [math] 1 [/ math] modulo [math] 17 [/ math]; por lo tanto, [matemáticas] 7 ^ {16k + 1} \ equiv 1 7 ^ {16k} * 7 \ equiv 1 * 7 \ equiv 1 \ (mod \ 17) [/ matemáticas].
