El siguiente ejemplo supone que conoce los espacios vectoriales y sus duales. Si no lo hace, podría ser útil para usted dominar este caso u otros antes de abordar el nivel más alto de abstracción que conllevan las transformaciones naturales.
Cada espacio vectorial de dimensión finita [matemática] V [/ matemática] (sobre cualquier campo) es isomorfo al espacio dual [matemático] V ^ \ ast [/ matemático], y también al dual-de-su-dual [matemático ] V ^ {\ ast \ ast} [/ math]. Sin embargo, hay una diferencia: el primer isomorfismo no es natural : no está definido de manera única. Para encontrar un isomorfismo de este tipo, debe elegir una base para [matemáticas] V [/ matemáticas] y una vez que lo haga, puede definir fácilmente ese isomorfismo, pero no hay una mejor manera de elegir esa base, por lo que decimos que la elección no es “canónico”, no “natural”.
Por otro lado, un isomorfismo entre [matemática] V [/ matemática] y [matemática] V ^ {\ ast \ ast} [/ matemática] puede definirse sin ninguna elección arbitraria. Simplemente asigne cada vector [math] v \ en V [/ math] a los funcionales en funcional que lleva un [math] \ phi \ in V ^ \ ast [/ math] funcional a su valor en [math] v [ / math], a saber, [math] \ phi (v) [/ math]. Así como los funcionales toman vectores en escalares, un vector puede reflejar esa operación y tomar un funcional en un escalar. Natural, canónico y simple: no se requieren elecciones arbitrarias.
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Esta noción de “naturalidad” es inicialmente bastante vaga; lo usamos repetidamente para significar algo así como “opciones definidas de forma única, no requiere elecciones arbitrarias”. Una forma de formalizar esta vaga noción en una definición matemática real es usar transformaciones naturales. En el ejemplo anterior, el isomorfismo entre [matemáticas] V [/ matemáticas] y [matemáticas] V ^ {\ ast \ ast} [/ matemáticas] es una transformación natural entre los functores “no hacer nada” y “tomar el doble dual” .
Si tiene una comprensión intuitiva de lo que son los “functors”, entonces una transformación natural entre dos functors es solo una regla que dice, para cada objeto, cómo mapear desde lo que obtiene aplicando el primer functor hasta lo que obtiene aplicando el segundo, de una manera que solo depende del objeto, de modo que los morfismos se comporten de la manera esperada aunque la transformación no conozca ningún morfismo. Esta última parte es lo que hace que la transformación sea “natural”.
¿Por qué es útil esto? Bueno, esta es la teoría de categorías: es útil porque unifica tantas instancias amplias y dispares, y nos ayuda a comprender cuántas cosas aparentemente diferentes son esencialmente lo mismo. Si practica algo más que la teoría de categorías, esto es aproximadamente el alcance de su utilidad; Si trabaja en teoría de categorías, este es un concepto fundamental que respalda el desarrollo de muchos otros aspectos de la teoría.
