¿Por qué el símbolo [math] \ sqrt {} [/ math] no evalúa naturalmente las respuestas positivas y negativas?

Cuando simplemente se dice “Raíz cuadrada”, es una representación de todas las raíces (incluso las posibles complejas).
Sin embargo, el símbolo [math] \ sqrt {} [/ math] solo evalúa la raíz principal.

Tu error es creer que
[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas] = x

Cuando actualmente, [math] \ sqrt {x ^ 2} [/ math] = | x |

Si usa la definición correcta, no surgen problemas.

Y en cuanto a por qué el símbolo [math] \ sqrt {} [/ math] solo genera un valor, es porque es mucho más beneficioso tener un símbolo estándar que pueda representar completamente los escenarios de la vida real en las funciones.

Sin embargo, los matemáticos son inteligentes y saben que hay algunos casos en los que necesitaremos la definición técnica de una raíz cuadrada, por lo que inventaron el símbolo [math] \ pm [/ math].

Si hubiera sido al revés y hubieran definido el símbolo [math] \ sqrt {} [/ math] como responsable de ambas raíces, aún tendrían que encontrar una notación separada para la raíz principal.

Tienes dos evaluaciones diferentes. Necesitará dos formas diferentes de distinguirlos, independientemente de cuál significa cuál.

Lo que usted describe no sería una función. Si desea reescribir todas las matemáticas con el símbolo de la raíz cuadrada que devuelve un par ordenado como (-a, a) cuando se le da la entrada b donde el cuadrado de a es b, y a no es negativo, puede hacerlo. Sin embargo, si ese es el único cambio que realiza, la literatura que produzca no será una contribución valiosa a las matemáticas. Además, cuando comience a escribir sobre quaternions, se encontrará con un nuevo problema. En particular, un cuaternión distinto de cero tiene infinitas raíces cuadradas. En ese contexto, debe hacer algo parecido a lo que hacen los analistas complejos con logaritmo y arcotangente, etc. Estudian lo que llaman “funciones de valores múltiples” (que, como se presenta en los libros de texto estándar, no son funciones en absoluto), y discuta los “recortes de sucursales” y los “valores principales”. En el caso de la raíz cuadrada de valores múltiples, la restricción de la versión compleja produce que la raíz cuadrada no negativa de un número real no negativo es su raíz cuadrada principal, y la raíz cuadrada negativa es la otra raíz cuadrada (la raíz cuadrada no principal ) Sin embargo, cuando esto se aplica a números complejos distintos de los números reales, uno termina declarando una raíz cuadrada principal y lo típico es hacer que la raíz cuadrada principal de un número complejo sea ese número cuyo argumento principal es más pequeño y cuyo cuadrado es el número dado.

Por desgracia, este enfoque no puede tener éxito con los cuaterniones. Por ejemplo, las raíces cuadradas de -1 viven en la esfera de la unidad en el espacio de producto interno real de 4 dimensiones que es una interpretación geométrica natural de los cuaterniones, y hay infinitos de ellos. De hecho, hay innumerables de ellos. La noción de raíz cuadrada principal de -1 es, por lo tanto, un concepto bastante nebuloso. Usar un símbolo de raíz cuadrada para cuaterniones fuera del eje complejo principal es notoriamente perjudicial.

Este es uno de los trucos de los matemáticos. La disciplina de las matemáticas les permite definir cualquier cosa de la manera que deseen. La única restricción es el requisito de coherencia lógica. La comodidad gana puntos de brownie y también les gusta la elegancia.

Entonces los matemáticos se han convertido históricamente en una especie de cartel. Todos los matemáticos deben llegar a un acuerdo sobre las definiciones. Esto se llama ‘convención’. Si todos los matemáticos están de acuerdo, pueden sacar constantemente al ‘conejo’ del sombrero, asombrando a todos en la audiencia.

Si uno de nosotros en la audiencia no está de acuerdo con una definición decidida por el cartel, podemos objetar, por supuesto, y proporcionar la nuestra en su lugar, pero en general nuestra objeción tendrá poco o ningún peso porque el objetor está muy superado en número. Básicamente tendríamos que convertir suficientes personas a nuestro propio sistema de creencias y formar nuestro propio nuevo cartel. Entonces tal vez podríamos esperar participar en una matemática ‘guerra de pandillas’ y posiblemente emerger como vencedor.

Eso no es probable que suceda, tienen el peso de siglos de su lado.

La función de raíz cuadrada [matemática] \ sqrt (x) [/ matemática] se define como ‘el número positivo único [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] y ^ 2 = x, [/ matemática] y es solo definido para [matemáticas] x \ geq 0. [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

Y sí, claramente siempre hay dos valores de [matemática] y [/ matemática] tal que [matemática] y ^ 2 = x [/ matemática] suponiendo que [matemática] x> 0 [/ matemática] para que sea una función real elige el y positivo.

La ecuación [matemáticas] {x} ^ {2} = 1 [/ matemáticas] tiene dos raíces, [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas].

La confusión surge cuando sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación como esta. Sabes que hay dos raíces, las raíces cuadradas positivas y negativas. Es una cuestión de definición , la función de raíz cuadrada produce solo la raíz cuadrada positiva. Depende del usuario de la definición aplicarla correctamente.

Pobre de mí.

La raíz se usa para establecer exactamente un valor, ya que el mismo valor se puede distribuir en muchos lugares. Entonces [math] (3 + 2 \ sqrt {2}) (3-2 \ sqrt {2}) = 1 [/ math] realmente no puede tener sentido a menos que pueda confiar en la continuidad del valor.

Por eso, los valores escritos con radices, etc. tienen un valor normal.

El truco del isomorfismo es recorrer los valores, pero si decide que se usa un valor diferente, por ejemplo, -1.414, se usa en todo momento, sin variaciones.

Queremos anotaciones separadas para la función (que dan UNA respuesta, nuestro “favorito”) y para el conjunto de posibles valores de valores múltiples no funcionales. El símbolo raíz significa la función. El símbolo más o menos marca el caso de varios valores.

Si nos limitamos al conjunto de números reales positivos, entonces se puede decir que tanto la cuadratura como la toma de las raíces cuadradas están cerradas: son operaciones inversas que toman y producen números reales y positivos. Ambos son biyectivos: hay una correspondencia 1: 1 entre la entrada y la salida.

Para otros conjuntos, este no es el caso, pero esto se explica mejor aquí:

¿Es sqrt (x) una función? ¿Importa si se da un dominio?

En muchas aplicaciones prácticas solo le importa la solución positiva.

Incluso en matemáticas abstractas, a veces quieres referirte solo a la solución positiva o negativa. Si desea referirse a ambos, simplemente puede agregar el signo más-menos.