Deje [math] c = 3 + 4i \ quad \ text {y por lo tanto} \ quad \ bar {c} = 3-4i [/ math]
Expresemos [math] c [/ math] en forma polar.
[matemáticas] \ text {If} \: c = x + iy \ quad \ text {then} \\ c = | c | e ^ {i \ theta} \ text {where} \: \ theta = \ tan ^ { -1} (\ frac {y} {x}) \ quad \ text {y} \ quad | c | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ math]
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Por lo tanto-
[matemáticas] c = 5e ^ {i \ theta} \\\ theta = \ tan ^ {- 1} (\ frac {4} {3}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ bar {c} = 5e ^ {i (- \ theta)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {Por lo tanto -} [/ matemáticas]
[matemáticas] z = c ^ 6 + \ bar {c} ^ 6 \\ = (5e ^ {i \ theta}) ^ 6+ (5e ^ {i (- \ theta)}) ^ 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 5 ^ 6 (e ^ {6i \ theta} + e ^ {6i (- \ theta)}) \\ = 5 ^ 6 (e ^ {i (6 \ theta)} + e ^ {i ( -6 \ theta)}) \\\ text {ambos son conjugados entre sí} [/ math]
[matemáticas] \ text {Y desde entonces,} \ quad p + \ bar {p} = \ text {2Re (p)} \ quad \ text {por lo tanto} \\ z = 5 ^ 6 \ times [2 \ cdot \ text { Re} (e ^ {6i \ theta}]) [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] Im (z) = 0 [/ matemáticas]
