¿Cómo se puede escribir que hay un número infinito de objetos con cierta propiedad en lógica?

No estoy seguro de lo que quieres decir con “en lógica”. En matemáticas, puedes escribir algo como

[matemáticas] \ # \ {x \; El | \; x \ text {tiene propiedad} P \} = \ infty [/ math]

Si estás hablando específicamente de lógica matemática, de modo que tus “objetos” son modelos y tu “propiedad” es una teoría, entonces podrías mirar el espectro de una teoría.

Definir [matemáticas] S = \ {x: P (x) \} [/ matemáticas]

Entonces [math] S [/ math] es infinito si y solo existe una función inyectiva [math] f: \ mathbb {N} \ to S [/ math], o de manera equivalente, existe una función inyectiva pero no surjective [ matemáticas] f: S \ a S [/ matemáticas].

EDITAR:

Si desea evitar la teoría de conjuntos por completo, también necesitará un predicado binario F tal que:

1. [matemáticas] \ para todos x, y: [F (x, y) \ implica P (x) \ tierra P (y)] [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ para todos x: [P (x) \ implica \ existe y: F (x, y)] [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ para todos x, y, z: [F (x, y) \ tierra F (x, z) \ implica y = z [/ matemáticas]
4. [matemáticas] \ para todos x, y, z: [F (x, y) \ tierra F (z, y) \ implica x = z [/ matemáticas]
5. [matemáticas] \ existe x: [P (x) \ land \ forall y: [P (y) \ implica \ neg F (y, x)]] [/ math]

EDITAR:

Las líneas 1-3 definen a F como el equivalente de una función en FOL. La línea 4 dice que esta “función” es inyectiva. La línea 5 dice que no es surjective

Supongamos que [math] P (x) [/ math] representa el hecho de que el objeto [math] x \ en X [/ math] tiene la “cierta propiedad”, [math] P [/ math]. Entonces, el hecho de que haya un número no finito de objetos distintos con esa propiedad puede representarse “en lógica” mediante:

[matemáticas] \ existe f \ colon \ mathbb {N} \ a X | \ forall n, m \ in \ mathbb {N} \ colon P (f (n)) \ land \ left (f (n) = f (m) \ Rightarrow n = m \ right) [/ math]

Es decir, existe una función desde los números naturales hasta el dominio de los objetos tal que: cada número natural tiene un miembro único que satisface la propiedad.