¿Es el área una cantidad escalar o vectorial?

Sí, parece que el área debería escalar, pero está mal. Parece obvio ya que una longitud es escalar y si multiplicamos longitud x longitud, ¡obtenemos el área derecha!

Si eres un estudiante de física, nunca debes hacer esta pregunta. Ok, no hay problema, déjame explicarte.

¿Alguna vez ha oído hablar de flujo, por ejemplo, flujo eléctrico, flujo magnético, flujo de fluidos como flujo de agua a través de tuberías, etc.

Flujo significa la cantidad de ‘algo’ que pasa o fluye a través de cualquier área de superficie. AQUÍ algo significa agua, líneas de campo eléctrico o cualquier cosa que desee.

El área juega un papel vital en el flujo. El flujo es de naturaleza escalar. Flujo = [matemáticas] \ overrightarrow {algo}. \ overrightarrow {area} [/ math]

Aquí puede ver que el área debe ser vectorial al hacer un producto de puntos vectoriales para obtener un flujo escalar.

Está incompleto sin decir la dirección del vector de área. Básicamente, cualquier línea dibujada perpendicular al área se llama normal y esta normal se llama vector de área. Sí, puede ser en dos direcciones, pero a la vez usamos solo una dirección.

En matemáticas, dime cómo medirías la distancia entre dos planos paralelos, encontrarías la línea más corta que es perpendicular a ambos planos. Y esta distancia no es nada vector de área de ninguno de los planos.

Espero que ahora puedas entender.

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Eso depende principalmente de si estás dentro o fuera de una integral. Si está dentro de una integral (en particular, una integral de superficie), entonces se centrará en una pieza infinitesimal de su superficie. En tres dimensiones, su pieza de superficie local (que a partir de ahora asumiremos que pertenece a una superficie agradable, es decir, lisa) tendrá algún tipo de orientación que puede ser descrita por un vector normal. Luego puede construir un vector de área diferencial cuya longitud es igual al área de su superficie infinitesimal y cuya dirección es paralela al vector normal de la unidad. Este vector codifica tanto la magnitud como la dirección de la superficie.

Si está fuera de una integral, entonces lo que le interesa es probablemente el área total de la superficie. Debido a que las superficies tienen diferentes formas, el área total solo tiene sentido como escalar. La razón por la cual la definición vectorial tiene sentido infinitesimal es que todas las superficies (al menos las bonitas que estamos considerando) se convierten en planos si nos acercamos lo suficiente y, por lo tanto, tienen la misma forma.

Entonces, ¿cuándo es importante la orientación de la superficie? Considere una superficie plana en un campo vectorial constante (quizás representando el flujo de algún fluido o de un campo eléctrico). ¿Cuál es el flujo a través de la superficie (es decir, cuánto fluido / campo eléctrico pasa a través de la superficie por unidad de tiempo)? Bueno, eso depende de cómo esté orientada la superficie. Si la superficie es paralela al campo vectorial, nada fluirá a través de él, mientras que en cualquier otro ángulo habrá algún flujo. Si la superficie es perpendicular al campo vectorial, entonces el flujo se maximizará. Si trata el área de su superficie como un vector como se describió anteriormente, entonces el flujo será igual al producto de punto entre el campo del vector (que, debido a que es constante, podemos tratarlo como un solo vector) y el área (que también es constante y, por lo tanto, puede tratarse como un solo vector). En este ejemplo, como acabamos de mencionar, podemos tratar el área total como un vector porque el flujo es constante a través de la superficie, pero en general tendremos que integrarnos en toda la superficie para encontrar el flujo total.

Una instancia en física donde se usa flujo es la Ley de Gauss (en forma integral) que dice que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada por la superficie:

[matemáticas] \ oint \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = \ frac {q_ \ text {en}} {\ epsilon_0} [/ math]

Entonces, el área, en general, es un escalar pero (en tres dimensiones) podemos tratarlo localmente como un vector con el propósito de tomar integrales de superficie que luego siguen un proceso similar al de tomar integrales de línea. Tratar el área como un campo vectorial a menudo es necesario porque el área total no proporciona la descripción completa de una superficie y dos superficies, a pesar de tener la misma área, generalmente darán resultados diferentes a problemas físicos determinados. Por supuesto, dado que el área generalmente se refiere al área total de una superficie, supongo que, si debe darle una etiqueta, escalar sería el término más apropiado para ello.

Si uno se refiere a una entidad fija desprovista de curvaturas, podría tratar el área como una cantidad salar. Como “cuánto es el área de una pared”. Solo di un número con unidades. También se podría denominar área como un vector donde se necesita definir la superficie de la que está hablando. La definición se introduce con un vector normal unido al área escalar.

Vector de área = Área escalar * vector normal

‘*’ representa la multiplicación escalar a un vector. 🙂

Es una idea bastante desconcertante, pero el área puede ser una cantidad escalar o vectorial. Por lo general, el área es una cantidad escalar. Por ejemplo, el área de mi casa es de 2000 pies cuadrados. En cursos de cálculo más avanzados, te encontrarás con vectores de área. área es un vector porque, como sabes, presión = fuerza / área que es escalar “presión” = vector “fuerza” / X “área” área “X” = fuerza / presión que es vector / escalar = vector, entonces el área es un vector
En geometría, para una superficie plana finita del área escalar S , el área del vector se define como un vector cuya magnitud es S y cuya dirección es perpendicular al plano, según lo determinado por la regla de la mano derecha en el borde.

Considere una tira de Möbius como la que se muestra a continuación.

Fuente de la imagen: Wikipedia, tira de möbius

Tiene un área que es una cantidad escalar y no hay forma de asignar una dirección a esa cantidad escalar. En cada punto de esa superficie puede asignar un vector normal a la superficie, pero eso no se puede hacer de manera consistente ya que una banda de Möbius no es orientable.

La superficie mínima de Costa es orientable. La parte que se muestra a continuación tiene un área. Nuevamente, no hay una dirección asociada preferida para esa área, pero como es orientable, puede asignar un vector normal en cada punto normal de manera consistente, de hecho, de dos maneras diferentes. Para pequeños parches de esta superficie, eso le permite dar una dirección al área del pequeño parche.

Fuente de la imagen: Wikipedia, superficie mínima

Si tiene un área plana en 3 espacios, los vectores normales son todos paralelos y puede asociar esa dirección al área para obtener un vector. Eso no funciona en dimensiones superiores.

Entonces, en general, el área es escalar, pero en casos especiales, puede asociarle una dirección.

Si tiene un anillo cerrado de dimensiones N-2, en el espacio N, no tiene que ser plano.

No obstante, admite un área vectorial, que depende completamente de la forma del anillo, y no de la ‘superficie’ (espacio N-1), que lo abarca. Esto es muy fácil de probar a partir de una tormenta de volumen (espacio N).

[matemáticas] \ int \ vec {r} \ cdot d S = V [/ matemáticas]

Como el volumen no depende de la posición, observamos que la integral no representa una medida vectorial precisa, y

[matemáticas] \ int d S = \ vec S = 0 [/ matemáticas]

significa que si agregamos el vector normal sobre una superficie cerrada, debemos obtener 0. (Esta es la ley de Gauss).

Ahora dividimos esta superficie en dos mitades, que son + S y -S (que pueden ser distintos de cero). Mientras mantengamos -S una superficie constante, podemos cerrar + S como lo que elijamos, y debido a que la suma de los dos debe ser 0, el área vectorial de cualquier superficie delimitada por el perímetro es una constante.

Esto es tan cierto para la normalidad de una línea curva dibujada entre dos puntos.

Generalmente, las áreas de pequeñas magnitudes se consideran vectores, porque poseen una dirección específica. Pero las áreas de mayor magnitud no pueden considerarse como vectores, son simplemente escalares.

Por ejemplo, considere la ley de Gauss en electrostática. Aquí se considera que el área tiene una dirección.

Un elemento de área es un objeto geométrico conocido como forma de 2.

Dos formas son tensores antisimétricos, lo que significa que son funciones que tomarán dos vectores y devolverán un número y si intercambian los dos vectores, obtendrán el resultado negativo.

En dimensiones D, el área tiene componentes D (D-1) / 2 que describen en qué dirección está orientada el área.

En 2 dimensiones, tiene 1 componente, lo que significa que tiene el mismo número de componentes que un escalar, técnicamente un pseudoescalar, ya que si haces una transformación de paridad, obtienes un signo menos.

En 3 dimensiones, el área tiene 3 componentes, lo que significa que tiene el mismo número de componentes que un vector. Técnicamente es un vector axial. Este vector describe en qué dirección apunta el área.

Ambas identificaciones de 2 formas con otros objetos geométricos se conocen como dualización de Hodge. Puedes ver ¿Qué es el Hodge dual?

En dimensiones superiores, el área no puede convertirse en otros objetos geométricos más familiares.

La magnitud de la forma del área 2 es lo que se conoce como el área escalar.

Puede ser escalar y puede ser vector dependiendo de cómo esté orientada la superficie, si la superficie es como-

no puede definir un vector perpendicular fijo (que represente un vector de área) a la superficie porque cambia continuamente pero aún tiene magnitud.

Y para esto

puedes dibujar un perpendicular (que representa el vector de área)

No normalmente. Pero no hay ninguna razón por la que no pueda definir un vector con una longitud proporcional a un área y una dirección perpendicular a la superficie cuyo área está midiendo. Algo como esto se hace a menudo en la teoría de campo y el análisis de flujo.

Entonces el área puede ser lo que quieras que sea, escalar o vectorial.

El vector se ocupa de la magnitud y la dirección. En los usos diarios normales que usamos son como un escalar i. e usamos solo magnitudes. Pero en física superior se usa en su forma real. Echemos un vistazo a esto, a, b, dos vectores de área se define como el producto cruzado de estos vectores. Su dirección es perpendicular a su superficie. Es muy útil en dinámica de fluidos. F = P. A , aquí F toma la dirección del vector de área.

Básicamente, el área es una cantidad escalar que está representada por A, pero en algunas situaciones consideramos que es una cantidad vectorial como en el teorema de Gauss therorem, ampere’circuital y tratamos el área como una cantidad vectorial allí, porque en esos casos el área tiene una dirección específica , pero no en todos los casos el área tiene dirección,

Por ejemplo, si considera una barra de longitud l, nunca llegará a saber en este caso que cuál es la dirección de la longitud ‘l’, en este caso el área es una cantidad escalar.

Conclusión: el área es una cantidad escalar que solo se trata como cantidad vectorial en algunos casos solamente

¿Por qué debería ser uno u otro?

El área de palabras se usa de muchas maneras y las matemáticas han intentado modelar algunas de ellas.

El área podría usarse para denotar una parte de algo como parte de un país, un tema como física, etc. Es solo una abreviatura de conceptos más bien definidos.

A veces se solicita el área cuando se desea un escalar. En otras ocasiones, es fácil especificar un vector, por ejemplo, el área de un lado de una pirámide en particular.

Quizás el área también es un campo vectorial cuando una superficie es localmente plana.

¿Recuerdas el teorema del tatami de Banach? Nos dice que no tenemos un modelo matemático perfecto de volumen. Quizás el área es otro lugar donde la ambigüedad del uso común significa que es imposible encontrar un solo modelo consistente que los cubra a todos.

Depende. El área de una llanura se puede definir como un vector que tiene la dirección a la que se enfrenta la llanura. Esto es puramente dependiente de la aplicación asociada donde la cantidad de vectores tiene significado.

El área de la superficie curva del cilindro o cono es escalar, a menos que exista un modelo matemático que defina y asocie una dirección al área.

En esencia, mire la aplicación para la que se usa y genere el significado.

Los vectores son un tensor simple, lo que significa que tienen más de un valor asociado con la misma cosa. En la mayoría de los vectores nos estamos refiriendo a un valor escalar (por ejemplo, velocidad) y otro descriptor (por ejemplo, dirección). Es por eso que la velocidad en una dirección es un vector, mientras que la velocidad general es un escalar. En el sentido de un área, solo representa un valor. Ese es el valor escalar del área en un plano. Podríamos referirnos a un cambio de área con el tiempo o en una dirección. Esto podría considerarse un vector.

Una cantidad que tiene dirección y magnitud, especialmente. como determinar la posición de un punto en el espacio con respecto a otro Y
La orientación del plano en el espacio solo puede describirse considerando el área como un vector y no como un escalar.

A2A: el área es una cantidad escalar. La forma no es. Por ejemplo, para describir un rectángulo se requiere altura y anchura, un vector bidimensional.

El área es una cantidad escalar. Un círculo, por ejemplo, tiene un área de [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas].

El área también es una medida. El conjunto vacío en [math] \ R ^ 2 [/ math] tiene área cero, y el área de una colección de conjuntos disjuntos es la suma de las áreas.

A veces tenemos un vector que tiene una magnitud igual al área de algún objeto.

Por ejemplo, si tomo el producto cruzado de 2 vectores obtendré otro vector perpendicular a los demás.

[matemáticas] \ | u \ veces v \ | = [/ math] el área del paralelogramo espaciado por [math] u, v [/ math]

El paralelogramo tiene una orientación y un área, y generalmente está representado por su vector normal con codificaciones de ambos.

Dependiendo del Marco de Referencia del Estado y la aplicación, cualquier cantidad escalar podría tratarse como un vector. Tomemos por ejemplo la velocidad. La velocidad en una determinada dirección es Velocidad (una cantidad vectorial). De manera similar, hablando de Área, cuando consideramos el efecto neto sobre un área causada por cantidades vectoriales, se multiplica por un vector de unidad de magnitud y se trata como una cantidad vectorial. El ejemplo es una fuerza ejercida sobre un área unitaria. El efecto de la fuerza a través del área de la unidad podría ser hacia afuera o hacia adentro dependiendo del Marco de referencia. Para este propósito, multiplicamos el área con el vector y la tratamos como una cantidad vectorial.