En primer lugar, permítanme llamar la atención sobre una desafortunada inconsistencia en la terminología, que puede ser un gran obstáculo para aprender estos conceptos.
Cuando estudias matemáticas, puedes aprender de un vector como una fila o columna de números. También puede aprender que un vector es una dirección y una magnitud. Eventualmente, puede quedar claro que la fila o columna de números es una representación de un vector en un sistema de coordenadas particular. Puede cambiar el sistema de coordenadas y los números cambian, pero el vector (es decir, el objeto geométrico, la flecha que tiene una longitud y una dirección) permanece igual.
Cuando se trata de matrices, las cosas son un poco más claras: una matriz es una disposición de números, y puede ser la representación de una cantidad geométrica llamada tensor. La representación de un tensor cambia dependiendo de la elección del sistema de coordenadas, incluso si el tensor en sí (el objeto geométrico abstracto) permanece igual.
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¿Qué es un tensor? Para eso, piense en algo que puede hacer aplicando un vector a otro vector a través de la operación interna del producto: los asigna a números. (Esto se hace más correctamente cuando uno de los vectores es contravariante , el otro es covariante , pero no quiero perderme aquí en detalles técnicos). En otras palabras, una de las cosas que hace un vector es que se mapea un campo de vectores en un campo de números.
Un tensor es la generalización de esta idea: mapea pares, trillizos, etc., de vectores en números. O, más generalmente, relaciona pares, trillizos, etc., de vectores de alguna manera.
Lo que me lleva quizás al uso más intuitivo e importante de los tensores en física: el tensor de estrés.
El tensor de estrés es la generalización de la idea de presión. Cuando decimos que un gas o un líquido tiene cierta presión, ¿qué queremos decir realmente? Por qué, si imagina insertar una hoja plana en ese medio y quitar el medio de un lado de la hoja, la presión le indica cuánta fuerza aplica el medio a la hoja en el otro lado.
Pero implícito en esta definición de presión es que la fuerza es isotrópica : la misma en todas las direcciones. Entonces, si tuviera que cortar un volumen de gas por la mitad con una membrana plana, la orientación de la membrana no importa; La presión es la misma. Además, la presión siempre es perpendicular a la membrana que inserta de esta manera.
Sin embargo, los materiales reales pueden ser anisotrópicos. Por ejemplo, cuando apilas ladrillos uno encima del otro, la presión en la dirección vertical será grande en la parte inferior de esa pila de ladrillos, pero no habrá presión horizontal. Entonces, si tomo una pila imaginaria de ladrillos y la divido con una membrana vertical, quitando la mitad de la pila, no habrá presión sobre esa membrana. Pero si tuviera que dividir la pila con una membrana horizontal, habría mucha presión.
Los materiales reales también pueden tener cizallamiento. Básicamente significa que si divido ese material con una membrana imaginaria, la fuerza sobre esa membrana no será perpendicular a la membrana.
Esto es lo que tenemos, entonces: dos vectores. Un vector es el normal de la membrana: un vector que representa la orientación y la magnitud de un elemento de superficie unitaria de esa membrana. El otro vector es la fuerza que actúa sobre este elemento de superficie. Estos dos vectores están relacionados por el tensor de estrés.
Cuando el material es isotrópico, el tensor de tensión será simplemente la matriz unitaria multiplicada por un número: la presión. Pero el tensor de tensión puede usarse para describir la presión anisotrópica arbitraria y las fuerzas de corte. El tensor de estrés caracteriza un material. Para calcular la fuerza resultante sobre un elemento de superficie elemental, simplemente tome la representación matricial del tensor de tensión y multiplique el vector normal de ese elemento de superficie con él; El resultado es un vector de fuerza.
En notación matemática, el vector de fuerza [math] {\ mathbf F} [/ math] se obtiene usando el tensor de tensión [math] {\ mathbf \ sigma} [/ math] y la superficie normal [math] {\ mathbf n} [ / math] por la operación
[matemática] {\ mathbf F} = {\ mathbf \ sigma} \ cdot {\ mathbf n}. \ tag * {} [/ math]
Cuando el material es isotrópico y libre de cizallamiento, [math] {\ mathbf \ sigma} = p {\ mathbf I} [/ math] donde [math] {\ mathbf I} [/ math] es solo la identidad (matriz de unidades ) En ese caso,
[matemáticas] {\ mathbf F} = p {\ mathbf I} \ cdot {\ mathbf n} = p {\ mathbf n}, \ tag * {} [/ math]
que es la noción familiar y cotidiana de presión (isotrópica).
