Un toro es naturalmente plano. Esto puede parecer extraño, ya que si piensas en una rosquilla, definitivamente no parece plana. Sin embargo, si promedia la curvatura de la rosquilla, encontrará que sale a cero. Cualquier múltiple bidimensional cerrado puede incrustarse en el espacio euclidiano [matemático] n [/ matemático] dimensional de tal manera que la curvatura de la superficie sea constante en todas partes. De hecho, si esta curvatura es positiva, cero o negativa, no depende de cómo decida incrustar la superficie.
Entonces, si incrusta el toro en el espacio (4D) de modo que su curvatura sea constante en cada punto, entonces esa curvatura será cero. Entonces es posible dar un mapa plano preciso del toro (específicamente, piense en el toro como [math] \ mathbb {R} ^ 2 / \ mathbb {Z} ^ 2 [/ math]).
La esfera, por otro lado, nunca tendrá ningún tipo de incrustación donde tenga curvatura cero en todas partes. Es posible que pueda deformarlo para que tenga curvatura cero en alguna parte , pero como resultado tendrá curvatura positiva y negativa en otra parte. Y, desafortunadamente, cualquier región que tenga curvatura no se puede aplanar sin distorsionar fundamentalmente la geometría.
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En resumen, puede (si ha elegido un toro con curvatura cero) aplanar un toro porque “debería ser” plano. Nunca puedes esperar aplanar una esfera. Estamos atrapados con mapas imperfectos.
