¿Es la presión un escalar o un tensor?

Además de las respuestas ya dadas, la presión se trata principalmente como un escalar, sin embargo, hay casos (fuera de la Relatividad General en los que la presión, como la densidad de energía, tiene que aparecer como componentes de un tensor, para mantener el carácter covariante de la teoría) mencionada en libros de texto avanzados y en trabajos de investigación donde la presión se trata como un tensor, como en la mecánica estadística de fluidos no homogéneos.

La presión es la fuerza por unidad de área que actúa a través de un elemento superficial dentro de un fluido, y es la suma de una contribución cinética debido al movimiento de las moléculas a través de la superficie (transporte de momento convectivo) y una contribución configuracional causada por las fuerzas intermoleculares. Para un fluido homogéneo, la presión es la misma en todas las direcciones, está representada por la cantidad escalar [matemática] p [/ matemática]. En un fluido no homogéneo es un tensor de segundo rango p , ya que la presión depende de la orientación de la superficie y de la dirección relativa a la superficie. Existirá una presión de corte o tangencial para un elemento orientado aleatoriamente.

Por lo tanto, p [math] _ {xy} [/ math] da la fuerza por unidad de área en la dirección [math] y [/ math] en una superficie que apunta hacia adentro

la dirección [math] x [/ math].

El tensor de presión p (r) en un punto r se define como el promedio conjunto del negativo del tensor de tensión:

El tensor de presión también está relacionado con la tasa de cambio de la densidad del momento lineal en r y en el tiempo t, J ( r , t):

Para ciertas condiciones limitantes, se obtiene un tensor llamado tensor de presión Irving Kirkwood.

Por lo tanto, el tensor de presión de un fluido puede considerarse como el negativo del promedio de equilibrio del tensor de tensión a escala microscópica. El tensor de presión está compuesto por dos partes en un fluido de moléculas esféricas (un sistema clásico de partículas que interactúan), una parte cinética que surge del momento lineal de las moléculas, y una parte configuracional que surge de las fuerzas intermoleculares centrales:

La primera parte generalmente está bien definida, mientras que en fluidos no homogéneos la segunda no, porque no hay una manera inequívoca de decidir en qué parte del fluido está actuando una determinada fuerza intermolecular.

El tensor de presión también se utiliza en el estudio de sistemas macromoleculares. La presión es una cantidad termodinámica útil en simulaciones de presión y volumen constantes. La presión para un sistema atómico viene dada por:

En la ecuación anterior, [matemática] P [/ matemática] es la presión, [matemática] V [/ matemática] el volumen, [matemática] m_j [/ matemática] las masas atómicas, [matemática] v_j [/ matemática] la atómica velocidades, [matemática] r_j [/ matemática] las coordenadas atómicas, y [matemática] F_j [/ matemática] las fuerzas. El tensor de presión se puede expresar como:

Se puede usar una representación atómica o un centro de representación de masa para un sistema molecular.

Es de notar que hay un tensor de presión definido en relación con la ecuación de Vlasov como la masa de partículas multiplicada por la matriz de covarianza de la velocidad (imagen de la ecuación a continuación de Wikipedia):

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La presión misma se considera una cantidad escalar; La cantidad de tensor relacionada a menudo mencionada es el tensor de estrés .

Para un fluido estático, suponiendo que el tensor de tensión sea simétrico ([matemático] \ tau_ {ij} = \ tau_ {ji} [/ matemático]) e isotrópico, es decir, no depende de la orientación del fluido), el tensor de tensión puede ser muy simplemente relacionado con la presión [matemática] p [/ matemática] como:
[matemáticas] \ tau_ {ij} = – p \ delta_ {ij} [/ matemáticas]
donde [math] \ delta_ {ij} [/ math] representa el delta de kroenecker. Aquí [matemáticas] p [/ matemáticas] es la presión termodinámica. Desde esta relación, es fácil ver que
[matemáticas] p = – \ frac {1} {3} \ tau_ {ii} [/ matemáticas]
es decir, la presión es el tercio negativo de la suma de los componentes diagonales del tensor de tensión (aquí se implica la convención de suma de Einstein en la que los índices repetidos implican una suma).

Para un fluido en movimiento, los componentes de tensión adicionales aparecen en forma de componentes no diagonales fuera de cero debido a la viscosidad, de modo que la relación se generaliza a la forma
[matemáticas] \ tau_ {ij} = – p \ delta_ {ij} + \ sigma_ {ij} [/ matemáticas]

donde [math] \ sigma_ {ij} [/ math] es el llamado tensor de estrés desviador . En este caso, la presión viene dada por la relación modificada:
[matemáticas] p = – \ frac {1} {3} \ tau_ {ii} + \ mu_v (\ nabla. \ vec {u}) [/ matemáticas]
Aquí [math] \ mu_v [/ math] se conoce como el coeficiente de viscosidad aparente y el término [math] (\ nabla. \ Vec {u}) [/ math] se denomina tasa de deformación volumétrica, [math] \ vec {u} [/ math] es el vector de velocidad de flujo.

Allan Steinhardt

Sí, la presión es tensorial de Rango-0.
Elaboración
El tensor caracteriza las propiedades del sistema. Los tensores pueden ser de un solo punto o una matriz de puntos depende del rango del tensor.
el tensor de rango 0 (escalar) son presión, masa, temperatura, etc. Es un tensor de punto único (3 ^ 0).
El tensor de rango 1 (vector) es la velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. Son tensor de tres (3 ^ 1) puntos o denotados por A i + B j + C k.
El tensor de rango 2 es tensor de estrés. Generalmente usamos la palabra tensor para el tensor de rango mayor o igual a dos. Es un tensor de nueve (3 ^ 2) puntos.
σ11 σ12 σ13
σ = σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
y continúa para un rango más alto …
La presión es una cantidad escalar o un tensor de rango cero.

Nagarajan Margasahayam

En toda la dinámica de fluidos que he hecho, lo he tratado como un escalar. En la ecuación de Navier Stokes, se maneja como un escalar. En la ecuación de Bernoulli, es un escalar. Para las consideraciones aerodinámicas más prácticas, es bastante adecuado tratarlo como un escalar.

Si fuera a generalizar a un tensor, lo llamaría “estrés” en analogía con el estrés en los sólidos, que en muchos casos se trata como un tensor. Creo que sería confuso referirse a ese tensor como “presión” porque la mayoría de la gente piensa que la presión es un escalar.

GRACY

La presión es escalar.

Pero si estudiamos el movimiento de un fluido, al igual que cuando estudiamos un sólido, podríamos aplicar la técnica de eliminar parte del fluido macroscópico usando un plano imaginario, y luego reemplazar el efecto del fluido eliminado por una fuerza normal al plano. actuando sobre el fluido restante. Como esta fuerza depende de la dirección del plano, se necesita un objeto tensor para describirlo. Según el principio de Pascal, este tensor es una matriz diagonal de p, o la matriz de identidad multiplicada por el p escalar. Pero un tensor sin embargo.

Chuna Ram Dhatarwal

Como parámetro en termodinámica, la presión es escalar. Sin embargo, en la Mecánica clásica, la presión es la primera invariante escalar del tensor de estrés simétrico. Para las sustancias tixotrópicas, la presión solo puede considerarse como un componente resuelto o de estrés.

Allan Steinhardt

Sí, la presión es un tensor http://quantity.As No sigue las reglas vectoriales de suma y resta, pero su efecto depende de la dirección en la que se aplica la presión en el sitio;

Nagarajan Margasahayam

Tensor. El tensor será una matriz de identidad o una matriz diagonal para fluidos newtonianos o para personas (generalmente ingenieros de fluidos y civiles) a quienes no les importan los efectos de orden superior.

Obtenga millones de dólares en equipos y lleve cosas a 4.2 kelvin para las universidades, luego los elementos no diagonales obtendrán valores significativos distintos de cero. Esto también debería ser posible con ciertos fluidos altamente viscosos.

Nagarajan Margasahayam

Para cubrir el caso más general, debe definir la presión como un tensor y calcular con eso. Pero cuando los supuestos aproximados de la hidrostática son lo suficientemente buenos, entonces la presión es igual en todas partes (en la región considerada), por lo que puede usar un escalar.

GRACY

Se llama tensor estrés-energía-momento. Tensor de tensión-energía. El estrés es otro término para la presión.