¿Por qué e al poder de algo aparece con tanta frecuencia en las ecuaciones?

Porque ‘capitalización’ es un fenómeno muy natural.

El número e en sí proviene del estudio del problema de capitalización. Digamos que tienes un dólar. Se le paga una tasa de interés del 100% anual. ¿Qué sucede si me pagan intereses cada segundo? Bueno, tendrás e dólares a fin de año.

Representa el “crecimiento exponencial”, lo que significa algo que crece (o decae) ​​en relación con la cantidad que ya existe.

Por ejemplo, si un trozo de material radiactivo se descompone, la tasa de descomposición disminuye con el tiempo. Cuanto más pequeño es el bulto, menos eventos de descomposición ocurren en el mismo período de tiempo.

La tasa de descomposición está vinculada a la cantidad que hay, por lo que es una descomposición exponencial.

Otro ejemplo podría ser la división de las células. Si la masa celular se duplica en un período de 24 horas, eso es un crecimiento exponencial porque la cantidad por la que creció está relacionada con la cantidad que ya había.

[math] e ^ t [/ math] es el símbolo que usamos para la situación particular donde la tasa de crecimiento es exactamente la misma que la cantidad de cosas, pero podría usar cualquier número en la base para representar tasas de crecimiento que difieren pero siguen siendo proporcionales a cuánto hay.

En notación matemática, mi último enunciado es equivalente a decir que para cualquier cantidad de cosas [matemática] m [/ matemática], entonces [matemática] m ^ t [/ matemática] puede escribirse como [matemática] e ^ {kt} [ / math], donde [math] k [/ math] representa la tasa de crecimiento, y [math] m = e ^ k [/ math].

Es más habitual representar diferentes tasas de crecimiento en esta última forma, ya que se pueden usar las mismas ecuaciones que se aplican a cualquier situación [matemática] e ^ {…} [/ matemática].

La respuesta del usuario de Quora es muy buena. También me gustaría señalar que [matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas] es la forma más simple de una onda plana. Esto significa que cualquier cosa que sea circular o periódica puede explicarse con exponenciales imaginarios de e.

Aquí está la relación con el pecado y el cos.

[matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i sin (\ theta) [/ matemáticas]

Me gustaría ampliar la respuesta de Joe Samson.

Digamos que graficamos la función [matemática] y = 2 ^ x [/ matemática], y supongamos que, por cualquier razón, miramos la pendiente de esta función en [matemática] x = 0 [/ matemática]. Aquí está el gráfico que obtenemos:
Entonces, la pendiente es 0.693 en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. ¿Qué tendríamos que hacer para que esa pendiente sea igual a 1? Intentemos mirar [matemáticas] y = 3 ^ x [/ matemáticas]:

Bien, ahora la pendiente es 1.099, que es mayor que 1, así que fuimos demasiado lejos. Disminuyamos un poco la base e intentemos acercarnos. Aquí está [matemáticas] y = 2.7 ^ x [/ matemáticas]:

Nos estamos acercando a una pendiente de 1. Aumentemos un poco la base e intentemos [math] y = 2.8 ^ x [/ math]:

Demasiado alto. Bajemos a [matemáticas] y = 2.71 ^ x [/ matemáticas]
Si continuamos de esta manera nos acercaremos más y más a [math] y = 2.7182818… ^ x [/ math], o en otras palabras:

[matemáticas] y = e ^ x [/ matemáticas]

Esta es una de las razones por las que el número [matemáticas] e [/ matemáticas] aparentemente surge de la nada en todas las matemáticas.

Ahora volvamos y miremos las pendientes de esas líneas nuevamente:
[matemática] y = 2 ^ x [/ matemática] -> pendiente = 0.669
[matemática] y = 3 ^ x [/ matemática] -> pendiente = 1.099
[matemáticas] y = 2.7 ^ x [/ matemáticas] -> pendiente = 0.993
[matemática] y = 2.8 ^ x [/ matemática] -> pendiente = 1.030
[matemática] y = 2.71 ^ x [/ matemática] -> pendiente = 0.997

¿De dónde vienen esos números a la derecha? ¡Pues resulta que esas pendientes son el logaritmo a la base [matemáticas] e [/ matemáticas] de las bases! Es decir:
[matemáticas] \ ln (2) = 0.699 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (3) = 1.099 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (2.7) = 0.993 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (2.8) = 1.030 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (2.71) = 0.997 [/ matemáticas]

[matemática] (1+ \ frac {1} {n}) ^ n \ aprox e [/ matemática] para n grande, esto es lo que la trae en CS. El producto de las probabilidades generalmente cae en esta forma. Además, el límite [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {i!} [/ Matemáticas] trae e.
La fórmula de Stirling es otra que requiere e en CS: [matemáticas] n! \ approx \ sqrt (2 \ pi n) \ times \ frac {n ^ n} {e ^ n} [/ math] para n grande.

Hola,

Desde un punto de vista matemático primero:

Desde un punto de vista histórico, antes de las funciones exponenciales vienen los logaritmos.

Por lo general, los logaritmos se señalan “ln”, pero hay que saber que, de hecho, existe una familia completa de funciones de logaritmos y que “ln” es solo uno de ellos.

Es decir, las funciones de logaritmos son las primitivas de 1 / x, y ‘ln “es la primitiva única que es e en 1.

Estas funciones de logaritmos son biyecciones de R + a R, por lo que cada una de ellas tiene una función “inversa” única (no sé la palabra en inglés aquí …). Estas funciones son las funciones exponenciales.

Me salteo un poco las cosas aquí, pero si consideramos la función de logaritmo que es tal que ln (base) = 1, sucede que es consistente notar su función exponencial inversa (base ^ x).

En otros términos, el inverso de “ln” se observa “e ^ x”.

Ahora, si deriva una función exponencial, base ^ x, se obtiene un coeficiente ln (base). Entonces e ^ x, es la única función exponencial que deriva exactamente en sí misma, ya que el ln (e) que sale es 1 (que multiplicado por lo que hay no cambia nada, etc.).

Ahora, como la buena fortuna lo tendría, esta función exponencial e ^ x tiene propiedades que se usan muy a menudo en la modelación matemática de problemas … Por ejemplo, e ^ x es la solución de muchas ecuaciones diferenciales (al menos viene en la solución … ), y esta es la razón más importante por la que esta e ^ x aparece a menudo.

rq: (Ahora también es posible definir las cosas al revés, es decir, definir e ^ x como la solución de la ecuación diferencial y hacer todo el trabajo hacia atrás y encontrar que e es el valor para el cual ln (e) = 1 )

Desde un punto de vista quizás más práctico.

Otra forma de verlo es que para modelar cosas, una forma natural es usar secuencias de números, y a menudo “un = q ^ n” es la modelación que sale. Ahora, si desea que la variable no sea un número entero n, sino una variable continua, terminará con una función exponencial … (y hará lo necesario para tener e ^ x en lugar de q ^ x …).

Quizás el mejor argumento intuitivo, al final, sea este: estas funciones exponenciales modelan situaciones en las que cuanto más grande eres, más grande creces, y así sucede todo el tiempo en la vida real. Cada vez que tienes uno, tu e ^ x sale.

Espero que haya ayudado

GW.

Las respuestas son todas relevantes. Sin embargo, son poco sistemáticos. Cada uno es una idea de la naturaleza de e . Sin embargo, son puñaladas desde diferentes ángulos y no son coherentes en una explicación satisfactoria.

Eso plantea la cuestión de cómo sería una explicación satisfactoria. A su vez, esto presupone que la pregunta original está bien planteada en el sentido de ser capaz de dar una respuesta que reconoceríamos como válida.

Para decirlo de otra manera, hay números reales, como e y pi , que parecen tener un estado especial entre los reales, análogamente al estado de los números primos entre los enteros. ¿Tienen estas propiedades en común que las definen como una clase particular de número real? ¿Son finitos en número? Estos pueden ser vistos como constantes especiales en la formulación que la humanidad ha dado a las matemáticas; ¿Hay otras formulaciones estrictamente inconmensurables (es decir, sin asignación directa de entidades entre sistemas) al sistema que hemos construido? Extendiendo esta especulación posiblemente hasta el punto de ruptura, ¿cuál sería la representación platónica de todos los sistemas matemáticos, cada uno congruente en su conjunto con el sistema que utilizamos?

Aunque e tiene un número decimal definido, es la tasa base de crecimiento compartida por todos los procesos de crecimiento continuo. Cada tasa de crecimiento puede considerarse una versión escalada de e, que es la unidad base de crecimiento. Dado que la tasa de crecimiento surge en una cantidad sorprendentemente grande de lugares, esta es la razón por la cual el poder de algo surge tanto.

Porque e ^ x es su propio derivado. Por lo tanto, como señala Madhav, él y sus variaciones son soluciones de estado estacionario para la mayoría de las ecuaciones diferenciales.

Si la tasa de aumento de algo es proporcional a su tamaño, entonces verá un e ^ x.

Además, expresiones como 2 ^ x se pueden escribir como e ^ (x ln 2).

Aquí se da una muy buena explicación en la línea mencionada por Lloyd Moore. Una guía intuitiva para funciones exponenciales & e.