Teniendo en cuenta que este foro abarca todo tipo de audiencias, permítanme comenzar diciendo que la teoría de los nudos es una rama de la topología algebraica. Para ser específicos, la teoría de nudos estudia las clases de equivalencia de las incrustaciones de círculo (topológicas) en 3 espacios hasta la isotopía ambiental.
Pero la definición anterior en sí misma limita si tiene algún papel importante que desempeñar en la teoría de campo cuántico. Para explicarlo de una manera más convincente, déjenme hablar sobre este tipo: ‘Henry Slade (1835-1905)’.
No, no es un matemático o físico que fue pionero en la teoría de los nudos *. De hecho, no merece ser citado. Pero manteniendo la ética a un lado, nos saldremos un poco del camino. Era un espiritista que afirmaba que podía hablar con los fantasmas desde la cuarta dimensión (espacial). Una de las demostraciones que hizo fue un truco (inteligente) donde ató nudos en una cuerda cuyos extremos estaban atados ** [6]. 
Pero esta no es una aplicación, sino mi intento desesperado por mantener el estilo quora. El punto que estoy tratando de hacer aquí es que los nudos no son objetos tan emocionantes para hablar en nuestro mundo de cuatro (3 + 1) *** dimensiones de la teoría cuántica de campos porque todos son nudos triviales indignos. Puede atar cualquier nudo de 1 nudo si está incrustado en cuatro dimensiones. Así que tengo que recurrir a modelos exóticos de 2 + 1 dimensiones en lugar del modelo estándar convencional de física de partículas.
Ahora, de nuevo, es posible incrustar un nudo no trivialmente en dimensiones 2 + 1, pero no es útil desde la perspectiva de QFT hasta que tengamos una dependencia métrica en Lagrangian. Pero hay una clase de QFT llamada teoría de campo cuántico topológico (TQFT, a veces burlada como QFT de juguete ) que es verdaderamente topológica y permanece invariable bajo deformaciones suaves de múltiples 
sí mismo. Un ejemplo de ello es la teoría de Chern-Simons.
En realidad, es una coincidencia afortunada que podamos escribir el término de Chern-Simons solo en dimensiones extrañas de espacio-tiempo sin comprometer la condición del medidor y los nudos de 1 solo pueden incrustarse en múltiples tridimensionales. Eso hará que cualquiera se pregunte, ¿puede Chern-Simon predecir una invasión topológica de nudo? La pregunta fue inspirada por Michael Atiyah [1,2,3] y fue resuelta por Edward Witten. [1,3,4]
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Así que ahora tenemos un marco completo para incrustar, 3-Múltiple con el paquete de vectores A del grupo G junto con la acción no abeliana de Chern-Simon – 
Y un observable topológico – (operador de bucle Wilson) 
Witten argumentó que el valor esperado del operador wilson anterior para el nudo C es exactamente solucionable [1,4] (aunque el cálculo real puede ser realmente complicado) y su paso final audaz fue conjeturar ese invariante topológico que obtenemos del valor esperado del operador wilson para El grupo de indicadores SU (2) es el famoso polinomio de nudo de Jones (Vaughan Jones, 1984). Para todos los demás grupos de indicadores SU (N) ahora podemos construir nuevos polinomios que resultan ser polinomios de color-HOMFLY y, de manera similar, el grupo de indicadores SO (N) da polinomios de colores de Kauffman.
Puede argumentar que es una aplicación mucho más inversa, de hecho lo es. Considérelo poco pago de las deudas con las matemáticas, pero estas conexiones pueden ser mucho más profundas.
Por ejemplo, la teoría de los nudos encuentra su aplicación natural en cosas como el plegamiento de proteínas. Pero hay un problema en la determinación de nudos invarinats. En primer lugar, determinar si un nudo es trivial o no es un problema NP difícil. No existe un algoritmo eficiente para el cálculo del polinomio de Jones, pero sí existe un algoritmo de tipo polinómico para el polinomio de Alexender [7].
Pero si podemos demostrar con éxito la computación cuántica, será un gran paso adelante en todas estas áreas.
Y la segunda aplicación verdadera, que está algo relacionada con lo anterior, es en la computadora cuántica topológica [5], donde los circuitos cuánticos se construyen a partir del trenzado de anyons y sus invariantes que ahora son nuestros qubits, sí, esta es la aplicación absoluta, es solo que los anyons no abelianos aún no se han encontrado [7]. Además, las computadoras cuánticas topológicas, en principio, ofrecen mucha más robustez frente a la coherencia que la computadora cuántica convencional sufre [5].
// Referencias –
[1] Witten, Edward: teoría del campo cuántico y el polinomio de Jones . Commun. Matemáticas. Phys. 121,351-399 (1989), Springer
[2] Atiyah, Michael: Nuevas invariantes de variedades tridimensionales y cuádruples. Hermann Weyl Symp. Proc., AMS (1988) Página en princeton.edu
[3] Atiyah, Michael: Geometría y física de nudos. Textos de Cambridge en Matemática Aplicada, Cambridge University Press (1990) ISSN 0961-8406
[4] Ramadevi, P: Chern Simons Theory & Knot Invarinats , Advance School & Discussion Meeting on Knot Thoery, IISERM, TIFR (2013) Página en icts.res.in
[5] Pachos, JK: Introducción a la computación cuántica topológica , Univ. de Leeds, Reino Unido (2010) Página en qip2010.ethz.ch
[6] Kragh, H: El universo de Zöllner . Springer (2012)
[7] Wikipedia: topología computacional
[8] Sankar Das Sarma, Michael Freedman y Chetan Nayak, Qubits topológicamente protegidos de un posible estado de sala cuántica fraccional no abeliano. Phys. Rev. Lett. 94 , 166802 – Publicado el 27 de abril de 2005
// Notas al pie –
* el crédito de ser pionero en realidad va a Peter Tait y William Thomson, también conocido como Lord Kelvin
** Sorprendentemente, muchos físicos caen presas de su locura, creando la mayor mancha en la historia de la ciencia que ahora está (deliberadamente) olvidada.
*** O como a un matemático le gustaría llamarlo en Lorentzian 4-manifold. Aquí por 3 + 1 me refiero a la variedad pseudo-riemanniana que tiene 3 componentes espaciales y un componente temporal. Por lo tanto, un n-múltiple Lorentziano es (n-1) +1 múltiple en esta notación.
Si está buscando aplicaciones mucho más amplias de topología y geometría algebraica, puede consultar ¿Cuáles son algunas aplicaciones (en otras ciencias / ingeniería) de Topología diferencial, Geometría diferencial, Topología algebraica y Geometría algebraica?
