Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el polinomio, [matemática] p (x) [/ matemática] es de grado [matemática] n [/ matemática] y monic (es decir, coeficiente de [matemática] x ^ n [/ matemática] = 1). Por lo tanto, se puede escribir como:
[matemáticas] p (x) = \ displaystyle \ sum_0 ^ n a_i x ^ i [/ matemáticas] con [matemáticas] a_n = 1 [/ matemáticas]
También sabemos que se puede escribir como
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[matemática] p (x) = \ displaystyle \ prod_ {i = 0} ^ {n-1} (x- \ alpha_i) [/ math] donde las [math] \ alpha_i [/ math] son las raíces, incluidas con La multiplicidad de su ocurrencia. Entonces, podemos expandir y comparar, obteniendo
[matemáticas] a_ {n-1} = – (\ alpha_0 + \ alpha_1 + \ ldots + \ alpha_ {n-1}) = – \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ alpha_i [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {n-2} = \ displaystyle \ sum_ {i, j, i \ ne j} \ alpha_i \ alpha_j [/ math]
[matemáticas] \ ldots [/ matemáticas]
[matemáticas] a_0 = (-1) ^ n \ displaystyle \ prod_ {0} ^ {n-1} \ alpha_i [/ matemáticas]
Entonces, tienes el resultado general. La más conocida de estas relaciones es que el coeficiente de [matemáticas] x ^ {n-1} [/ matemáticas] es – la suma de las raíces, y que el término constante [matemáticas] a_0 [/ matemáticas] es el producto de las raíces (dar o tomar un signo menos)
