Sería particularmente difícil derivar el valor de algo como la longitud de Planck a partir de los “primeros principios”, por la simple razón de que es una longitud: tiene unidades (generalmente metros), y esas unidades son bastante arbitrarias y específicas para humanos. . Por lo tanto, si va a tratar de deducir cualquiera de las constantes fundamentales de la naturaleza utilizando solo las matemáticas, sería mejor centrar sus esfuerzos en esas constantes físicas que resultan ser “sin dimensiones”, es decir, constantes cuyas unidades efectivamente se cancelan, de modo que se convierten en cantidades puramente numéricas.
Un ejemplo clásico y extremadamente bello de una cantidad tan adimensional es la llamada “constante de estructura fina” [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] (más específicamente, la constante de estructura fina electromagnética, ya que en realidad hay estructuras constantes asociadas con las interacciones gravitacionales y fuertes, que también son adimensionales). En efecto, la constante de estructura fina es un valor para la fuerza de la interacción electromagnética, cuando se mide en relación con la escala de Planck:
[matemáticas] \ alpha = \ dfrac {e ^ 2} {\ hbar c} [/ matemáticas].
- En términos simples, ¿cómo se define TREE (3)?
- ¿Cuál es la mejor opción en una calculadora gráfica?
- ¿Existe una solución analítica para log (t) - At = B?
- ¿Cuál es la transformada de Laplace de cos ^ 5 (t)?
- ¿Por qué el límite superior mínimo y el límite inferior mayor del conjunto vacío es [math] - \ infty [/ math]?
También hay un factor numérico de [math] \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} [/ math], pero esto es irrelevante y de todos modos se normaliza a 1 en unidades fundamentales. Una de las cosas más notables sobre el valor de la constante de estructura fina es el hecho de que está muy cerca del valor racional [math] \ frac {1} {137} [/ math]. Tanto es así, que el brillante astrónomo y pionero de la relatividad Arthur Eddington conjeturaba que era exactamente igual a [matemáticas] \ frac {1} {137} [/ matemáticas], y que esto se debía a razones puramente numerológicas, y estaba relacionado con la cantidad de protones en el universo.
(¿Un?) Afortunadamente, los datos experimentales posteriores revelaron que [math] \ alpha [/ math] no es exactamente igual a [math] \ frac {1} {137} [/ math], por lo que el razonamiento de Eddington fue casi seguramente inválido . Sin embargo, eso no quiere decir que no pueda haber una base inherentemente matemática para el valor de [math] \ alpha [/ math]. Feynman dijo muy famoso: “Inmediatamente le gustaría saber de dónde proviene este número para un acoplamiento: ¿está relacionado con pi o tal vez la base de logaritmos naturales? Nadie lo sabe. Es uno de los mayores misterios de la física: un número mágico que nos llega sin que el hombre lo entienda “.
Por lo tanto, ninguna de las constantes adimensionales fundamentales se ha reducido a la matemática pura todavía, pero la gente todavía lo está intentando: ¡es una posibilidad demasiado tentadora para que podamos resistir! De hecho, no sé de un solo físico serio que no haya desperdiciado una o dos tardes tratando de derivar la constante de estructura fina, o la relación de masa de protón a electrón, o las masas de las partículas fundamentales (como relaciones de la masa de Planck), en términos de constantes y funciones matemáticas elementales.
Estéticamente, sería extremadamente elegante si alguien tuviera éxito. Pero, hasta ahora, nadie lo ha hecho.
