Aquí hay un artículo de Tim Gowers, que trata sobre combinatoria y cohomología:
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg …
La cohomología es un ejemplo de una conexión estructural local – global que impregna las matemáticas.
Como anécdota, Andrew Wiles utilizó la cohomología como herramienta central para probar el último teorema de Fermat. Las curvas elípticas modulares juegan el papel central en esa prueba. Esa cohomología es más abstracta y no geométrica que las que normalmente aprende primero. Por lo tanto, la cohomología se utiliza como herramienta central para resolver problemas importantes.
Aproximadamente, la dualidad de Poincare conecta las declaraciones locales de cohomología con las declaraciones globales de homología. Eso no es cierto, porque la cohomología y la homología producen las mismas estructuras grupales, entonces, ¿cómo podrían ser diferentes? Pero así es como se ve cuando comienzas, si eres tan ingenuo.
La homología detecta algunos tipos de agujeros en el colector. Es una forma limitada de homotopía, donde una persona empujará y tirará de círculos y esferas como los lazos hasta que llegue a una obstrucción: un agujero. La forma más intuitiva de pensar en la cohomología para mí es en términos de por qué es importante en física. Pero tenga en cuenta que la idea matemática es que la cohomología es equivalente a una forma limitada de homotopía, a saber, la homología, que detecta agujeros en múltiples.
La cohomología se usa en física para calcular la estructura topológica de los campos de medición, como el campo electromagnético en el efecto AB. Aquí, el electrón rodea un flujo magnético, que puedes medir en el patrón de autointerferencia del electrón. Eso es sorprendente porque el electrón nunca pasa a través de un campo magnético. Las ecuaciones de Maxwell indican que la única interacción entre el campo magnético y el electrón es local, cuando el electrón pasa a través del campo. Que esta pasando?
El campo magnético es la curvatura de un potencial vectorial, que es una conexión de calibre y “vive” en la cohomología del colector subyacente. Debido a su cohomología, es algo real con consecuencias medibles en experimentos de física [y quizás en computadoras futuras].
El flujo magnético juega el papel del agujero u obstrucción. Un solo electrón puede rodear un solo flujo en física cuántica porque el electrón puede estar en dos lugares a la vez: puede tomar el camino hacia la izquierda del flujo y hacia la derecha, al mismo tiempo, y encontrarse en el otro lado . El resultado es un círculo completo. La mecánica cuántica también dice que el electrón capta una fase del potencial del vector, que se manifiesta físicamente en patrones de autointerferencia del electrón. Pero, ¿por qué surgiría un patrón de interferencia cuando el electrón solo viaja a través del espacio en regiones donde el campo magnético es cero?
Así es como funciona. Usas el teorema de Stoke. La intensidad de campo B es la curvatura del potencial vectorial A: B = dA. El potencial del vector magnético A está cerrado [B = dA = 0] pero no es exacto [es decir, A no puede escribirse como la curvatura de otra forma en todas partes, es decir, A no es igual a dQ, aunque A = dQ en parches y cada parche contiene una Q diferente, que debe ser remendado como una colcha]. El potencial del vector se suma a lo largo del camino [s] en la fase del electrón que interactúa con el campo del medidor electromagnético. Es decir, alrededor de una ruta que rodea el flujo magnético, sumas A, que según el teorema de Stoke equivale a agregar B en el disco cerrado, que no es cero debido al flujo magnético cerrado.
La cohomología diferencial es la estructura de grupo construida a partir del espacio vectorial de formas cerradas en el espacio vectorial de formas que son exactas. El hecho de que la idea se manifieste en la física fue una gran sorpresa en los años 50, 60 y 70. Todavía parecemos estar continuamente sorprendidos por la cohomología que aparece en la física en todos los lugares donde miramos.
Esa es una forma profundamente intuitiva de ver la cohomología, al menos para mí. El electrón y el campo interactúan localmente de manera trivial, pero perciben la estructura global no trivial del sistema, a saber, el flujo magnético rodeado, que actúa como una obstrucción, cuando la trayectoria del electrón en el espacio-tiempo forma un círculo cerrado a su alrededor. Sumar variaciones locales produce datos globales, incluso lejos de donde los datos globales son más manifiestos, es decir, en las obstrucciones y agujeros.
Otro ejemplo. La cohomología se utiliza para calcular el número de colectores Betti, que cuenta intuitivamente el número de formas en que puede cortar un colector sin separarlo en dos partes. El ejemplo de física anterior se generaliza para medir campos que viven en múltiples como superficies K3 y múltiples de Calabi Yau, que satisfacen las ecuaciones de campo de vacío de Einstein. Eso significa que los colectores son localmente geométricamente planos, con una estructura topológica global no trivial, lo que significa que básicamente tienen agujeros, como un toro. Los físicos colocan todo tipo de campos de indicadores en tales múltiples para descubrir – “sentido” – más sobre su estructura topológica, a través de la cohomología; por ejemplo, en diamantes Hodge. Debido a que las variedades son localmente planas y satisfacen las ecuaciones de campo de vacío de Einstein, las interacciones gravitacionales son mínimas y la cohomología de los campos de medida juega un papel central. Las ecuaciones de movimiento de los campos de medida son ecuaciones diferenciales locales, algunas lineales, otras no lineales, pero “perciben” la estructura topológica global. También va en la otra dirección: los físicos usan datos topológicos globales para ver qué campos y cantidades observables podrían estar presentes en una teoría que vive en una variedad específica.
Por ejemplo, en algunos sistemas de estado sólido, los físicos usan los números de Betti para calcular el transporte de electrones, donde los materiales de estado sólido crean estructuras topológicas no triviales para que el electrón pase a través de ellos. Los físicos también están buscando múltiples Calabi Yau que producen el contenido de partículas del modelo estándar a través de tales cálculos.
En física, siempre aprendemos a variar y perturbar las cosas localmente para tener una idea de su dinámica. Es por eso que la mayoría de las teorías físicas están escritas en términos de ecuaciones diferenciales.
Una pequeña variación aquí en el tiempo está relacionada con una variación proporcional o curvatura o lo que sea en el espacio. El hecho de que tales variaciones locales, lineales [y, a veces, no lineales, como los campos de Yang Mills o las ecuaciones de Navier Stokes o las ecuaciones de campo de Einstein, aunque generalmente intentamos linealizarlas lo más rápido posible] se puede resumir alrededor de curvas y superficies y sub Las múltiples formas de “detectar” la estructura topológica global son, francamente, sorprendentes y son ampliamente útiles en matemáticas y física.
Otro ejemplo en matemáticas que usa este fenómeno es la teoría de Morse o, en general, la topología diferencial. Eso es un poco más simple que la cohomología, que agrega estructuras grupales y analiza todos los submanifolds, pero brinda su esencia y sabor general de la conexión local – global. Otro ejemplo de la conexión local-global es el flujo de Ricci [análogo al flujo de calor, o en un sentido diferente, flujo de renormalización] con cirugía, que es una herramienta increíblemente poderosa utilizada para probar la conjetura de geometrizatón de Thurston de 3 colectores. Eso es más complicado que la cohomología.
La física ha tenido dificultades para lidiar con toda la situación causada por la cohomología de los campos de medición, en realidad, porque de alguna manera complica todo, tener que tener en cuenta la estructura global cuando se trabaja con cosas locales, porque tiene consecuencias físicas y bueno, de eso se trata la física. Pero de otras maneras, hace que el espacio de la teoría sea mucho más fascinante y rico. Creo que lo mismo es cierto en matemáticas, donde siempre se intenta construir enunciados generales sobre la estructura matemática abstracta a partir de enunciados “locales” específicos al respecto. Quizás allí es donde la cohomología se volvió útil en la teoría de las curvas elípticas modulares requeridas para resolver el último teorema de Fermat. No tengo idea [aunque me gustaría saber].
En suma …
# La idea de que un formulario puede cerrarse pero no ser exacto en una variedad en cohomología diferencial es hermosa cuando comprende por primera vez lo que eso significa.
# La idea que le informa sobre los datos topológicos de la variedad subyacente a través de la dualidad de Poincare es alucinante.
# La idea de que se puede extender a muchos otros tipos de cohomología, incluso a entidades no geométricas en teoría de números es, bueno …
Creo que la idea a la que Gower se refería es que la mayoría de estas estructuras utilizadas por matemáticos y físicos son “suaves”, una cualidad principalmente afirmada al principio por conveniencia y simplicidad, y nunca más se volvió a pensar. Por el contrario, los números, la combinatoria, los fractales, los sistemas caóticos, las costas, las redes de biología celular, las redes P2P, el aprendizaje automático, las distribuciones de materia oscura y la formación de galaxias no son nada uniformes. En ese sentido, el comentario de Grower se centró más en el conflicto básico entre las estructuras lisas y rugosas en el análisis y las matemáticas discretas, y más generalmente, en la naturaleza, respectivamente, que una declaración sobre la conexión local y global de la cohomología en la topología. La topología se utiliza en matemáticas discretas y “aproximadas”.
Por ejemplo, aquí está la prueba de que el conjunto de Mandelbrot está conectado:
Prueba de que el conjunto Mandelbrot está conectado (Página en Harvard.edu)
Hermosa. Mandelbrot, por cierto, originalmente conjeturó que el conjunto de Mandelbrot estaba desconectado. Pero no lo es. Las personas brillantes se equivocan todo el tiempo.
Ese conflicto entre suavidad y aspereza discreta es probablemente una ilusión debido a nuestra ignorancia colectiva. Puede utilizar la esencia de la idea de cohomología probablemente en todos ellos, ya que todos ellos son susceptibles, en términos generales, al cálculo de variaciones, suaves o discretas, pero tienen estructuras globales que son interesantes y útiles para conocer. La dependencia de la dinámica discreta de la topología de las múltiples subyacentes es un claro ejemplo. Y el conjunto de Mandelbrot definitivamente tiene una estructura global a pesar de que está construido con reglas locales simples.
Básicamente, la suavidad es una conveniencia asumida por los matemáticos porque los problemas de ser direcciones son lo suficientemente difíciles. Pero no es necesario para la idea de conexiones globales – locales en el corazón de la cohomología.
Somos buenos para ver lo que está justo en frente de nosotros. No somos tan buenos para ver el panorama general. Por lo tanto, una buena manera de ver el panorama general es encontrar formas de relacionarlo con lo que está justo frente a nosotros. Y eso es básicamente por qué Poincare inventó la topología.
