Esto depende de lo que quiere decir “conjuntos del modelo”, para usted significa los elementos del modelo, es decir, los objetos que el modelo cuenta como conjuntos. ¿O te refieres a subconjuntos del modelo?
Para la segunda opción, la respuesta es siempre no . Para cualquier modelo hay subconjuntos [math] 2 ^ {| M |} [/ math] de un modelo M, mientras que solo las fórmulas [math] \ aleph_0 [/ math]. Dado que los modelos de teoría de conjuntos son siempre infinitos, esto es una contradicción.
Para la primera opción, la respuesta es sí . Observe que un conjunto A tiene una “descripción” [según sus términos] en un modelo M si hay alguna fórmula [matemática] \ varphi [/ matemática] de modo que A sea el único conjunto st [matemático] M \ vDash \ varphi ( A) [/ math] (usando la fórmula F y diciendo “el conjunto que contiene exactamente todos los objetos que llenan F”). Luego decimos que [math] \ varphi [/ math] define x, y buscamos modelos donde cada conjunto sea definible.
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Estos modelos se denominan ” conjuntos definibles puntiagudos” . Un ejemplo muy fácil es este: suponga que tiene un modelo de “V = L”, llámelo M. Tiene lo que se llama “funciones definibles de Skolem”. Lo que sigue es que tiene un submodelo elemental (el casco Skolem del conjunto vacío, es decir, el cierre bajo las funciones Skolem del conjunto vacío) en el que todos los conjuntos son definibles.
Hay un artículo fascinante de Joel David Hamkins, David Linetsky, Jonas Reitz, llamado Modelos definibles de teoría de conjuntos de Pointwise en el que se presentan tales modelos y se construyen más. Lo recomiendo encarecidamente, incluso si parte de la parte posterior requiere un conocimiento más profundo de la teoría de conjuntos.
