Si las raíces de [matemáticas] x ^ 2 + nx + m = 0 [/ matemáticas] son dos veces las de [matemáticas] x ^ 2 + mx + 1 = 0 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] n [/matemáticas]?

Las raíces de ax ^ 2 + bx + c son:
[-b + (b ^ 2 – 4ac) ^ (1/2)] / (2a)
[-b – (b ^ 2 – 4ac) ^ (1/2)] / (2a)

Luego:

Raíces de la ecuación 1 = 2 (Raíces de la ecuación 2)

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Entonces tenemos:
[-n + (n ^ 2 – 4m) ^ (1/2)] / 2 = 2 [-m + (m ^ 2 – 4) ^ (1/2)] / 2

[-n – (n ^ 2 – 4m) ^ (1/2)] / 2 = 2 [-m – (m ^ 2 – 4) ^ (1/2)] / 2

Tenemos dos ecuaciones ahora. En adelante tenemos:

-n + 2m + (n ^ 2 – 4m) ^ (1/2) – 2 (m ^ 2 – 4) ^ (1/2) = 0… (A)
-n + 2m – (n ^ 2 – 4m) ^ (1/2) + 2 (m ^ 2 – 4) ^ (1/2) = 0… (B)

(A) + (B)

-2n + 4m = 0
n = 2m

Si reemplazamos n = 2m en las ecuaciones originales tenemos:

x ^ 2 + 2mx + m = 0
x ^ 2 + mx + 1 = 0

Las raíces de la primera ecuación son:

[- 2m +/- (4m ^ 2 – 4m) ^ (1/2)] / 2
= 2 [-m +/- (m ^ 2 – m) ^ (1/2)] / 2

Como puede ver, son dos veces la segunda ecuación.

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Deje que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] sean las raíces

[matemáticas] x ^ 2 + mx + 1 = (xa) (xb) = x ^ 2- (a + b) x + ab [/ matemáticas] entonces [matemáticas] m = – (a + b) [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 = ab [/ matemáticas].

[matemática] x ^ 2 + nx + m = (x-2a) (x-2b) = x ^ 2-2 (a + b) + 4ab [/ matemática] entonces [matemática] m = 4ab [/ matemática] y [matemáticas] n = -2 (a + b) [/ matemáticas].

[matemáticas] m = 4ab = 4 \ cdot 1 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = -2 (a + b) = 2m = 8 [/ matemáticas]

Verificación: Dos ecuaciones son [matemáticas] x ^ 2 + 4x + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 + 8x + 4 [/ matemáticas], o en forma de mitad

[matemáticas] \ frac {1} {2} x ^ 2 + 2x + \ frac {1} {2} [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] -2 \ pm \ sqrt {2 ^ 2-1} [/ matemáticas ] = [matemáticas] -2 \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} x ^ 2 + 4x + \ frac {4} {2} [/ matemáticas] tiene raíces [matemáticas] -4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4} = -4 \ pm 2 \ sqrt {3} \ \ \ \ marca de verificación [/ math]

Vemos que las raíces de la segunda ecuación son el doble que las de la primera ecuación.

Bojan Sofronievski

[matemáticas] x ^ 2 + nx + m = 0 [/ matemáticas]

tiene las raíces

[matemáticas] – \ frac {n} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {n ^ 2} {4} -m} [/ matemáticas]

y [matemáticas] x ^ 2 + mx + 1 = 0 [/ matemáticas]

tiene las raíces

[matemáticas] – \ frac {m} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {m ^ 2} {4} -1} [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] – \ frac {n} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {n ^ 2} {4} -m} = 2 \ times \ left (- \ frac {m} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {m ^ 2} {4} -1} \ right) [/ math]

[matemáticas] – \ frac {n} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {n ^ 2} {4} -m} = – m \ pm \ sqrt {m ^ 2-4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ldots [/ matemáticas]

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Bojan Sofronievski

Si [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] son soluciones de [math] x ^ 2 + mx + 1 = 0 [/ math], entonces usando las fórmulas de Vieta tenemos

[matemáticas] x_1 + x_2 = -m [/ matemáticas] ………. (1) y

[matemáticas] x_1x_2 = 1 [/ matemáticas] ………. (2)

Las soluciones de [matemática] x ^ 2 + nx + m = 0 [/ matemática] son [matemática] 2x_1 [/ matemática] y [matemática] 2x_2 [/ matemática], luego nuevamente usando las fórmulas de Vieata

[matemática] 2x_1 + 2x_2 = -n \ Rightarrow x_1 + x_2 = – \ frac {n} {2} [/ matemática] ………. (3) y

[matemáticas] 4x_1x_2 = m [/ matemáticas] ………. (4)

Ahora desde (2) vemos que [matemáticas] x_1x_2 = 1 [/ matemáticas], así que en (4) obtenemos

[matemáticas] m = 4 \ cdot1 = 4 [/ matemáticas], entonces en (1) tenemos

[matemáticas] x_1 + x_2 = -4 [/ matemáticas]

Finalmente en (3) tenemos

[matemáticas] -4 = – \ frac {n} {2} \ Flecha derecha n = 8 [/ matemáticas]

Bojan Sofronievski

Aquí hay muchas respuestas excelentes que profundizan en las raíces de esta ecuación. Dicho esto, no están respondiendo lo que se pregunta aquí, que es “¿qué es n?”

Digamos que esta fue una pregunta SAT. Desea responderlo lo más rápido posible. Entonces, ¿Qué haces?