¿Cuál es la utilidad de la transformada de Fourier?

La Transformada de Fourier es una Transformación básica de la base del Tren de impulsos a la base de los sinusoides.

En general, cualquier señal (una cantidad medible que varía con el tiempo o algún otro parámetro) se puede denotar de dos maneras:

(1) se puede denotar en términos de sus valores en diferentes puntos de tiempo. Esto se llama la representación del dominio del tiempo .

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(2) se puede representar como la suma de múltiples exponenciales complejos → señales de la forma [matemática] x (t) = Ce ^ {j \ omega t} [/ matemática] donde C es un número complejo y [matemática] \ omega [/ math] es un número real.

Por ejemplo, esta es la señal [matemáticas] x (t) = \ cos {\ omega t} – \ frac {1} {3} \ cos {3 \ omega t} + \ frac {1} {5} \ cos {5 \ omega t} [/ math]:

Ahora, en este gráfico, la señal se ha dado en términos de su valor en diferentes instantes de tiempo. Aquí, el eje X denota el tiempo y el eje Y denota los valores que toma la señal en esos instantes de tiempo.

Sin embargo, hay otra forma de denotar esta señal. Tenga en cuenta que también podemos escribir:

[matemáticas] x (t) = 0.1e ^ {- j5t} + 0.1667e ^ {- j3t} + 0.5e ^ {- jt} + 0.5e ^ {jt} + 1.667e ^ {3jt} + 0.1e ^ { 5jt} [/ matemáticas]

Esto significa que también podemos trazar la señal de esta manera:

Aquí el eje X denota los valores de ω y el eje Y denota los valores correspondientes de C.

Tenga en cuenta que ambas representaciones de la señal contienen exactamente la misma información, y es posible reconstruir una de la otra.

El proceso por el cual encontramos los coeficientes C para cada valor de ω se conoce como la Transformada de Fourier.

Entonces, ¿cuál es la utilidad de esta transformación? Permítanme ilustrar a través de un ejemplo. Supongamos que esta onda cuadrada es la entrada a un filtro de paso bajo:

Todo lo que sabemos es cuánto atenúa el filtro las señales tonales (sinusoidales) de cada frecuencia. En el procesamiento de señales, estos datos se conocen como la respuesta de frecuencia del filtro. Esto es lo siguiente:

Entonces, ¿cómo encontramos la salida de este filtro? Aquí va:

(1) el primer paso es encontrar la Transformada de Fourier de la Onda cuadrada. Esto le indica qué cantidad de cada componente sinusoidal está presente en la onda. Una vez hecho esto, el resto es fácil.

Estos son los componentes de frecuencia (en escala logarítmica) en la entrada cuadrada. Ahora la tarea es fácil:

(2) Pese cada componente por la cantidad que responderá el filtro. En otras palabras, encuentre el producto de esto con la Respuesta de frecuencia del filtro.

Y eso solo deja una última parte que hacer:

(3) Encuentre la Transformada inversa de Fourier de esta señal:

Y bingo! Ahí tienes: la respuesta se obtiene fácilmente usando la Transformada de Fourier.

Este es el uso principal de la Transformada de Fourier en el procesamiento de señales. También se usa en la codificación de corrección de errores, compresión de imágenes JPEG, etc., pero este es el uso principal.