En matemáticas, la función Clausen , introducida por Thomas Clausen (1832), es una función trascendental y especial de una sola variable. Se puede expresar de diversas maneras en forma de una integral definida, una serie trigonométrica y varias otras funciones especiales. Está íntimamente conectado con el pollogaritmo, la integral de tangente inversa, la función de polígama, la función zeta de Riemann, la función eta de Dirichlet y la función beta de Dirichlet.
La función Clausen de orden 2 , a menudo denominada función Clausen, a pesar de ser solo una de una clase de muchas, viene dada por la integral:
[matemáticas] {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ varphi) = – \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ log \ left | 2 \ sin {\ frac {x} {2}} \ right | \, dx:} [/ math]
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En el rango: [math] {\ displaystyle 0 <\ varphi <2 \ pi \,} [/ math] la función seno dentro del signo de valor absoluto permanece estrictamente positiva, por lo que los signos de valor absoluto pueden omitirse. La función Clausen también tiene la representación de la serie de Fourier:
[matemáticas] {\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ varphi) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ varphi} {k ^ {2}} } = \ sin \ varphi + {\ frac {\ sin 2 \ varphi} {2 ^ {2}}} + {\ frac {\ sin 3 \ varphi} {3 ^ {2}}} + {\ frac {\ sen 4 \ varphi} {4 ^ {2}}} + \ cdots} [/ math]
Las funciones de Clausen, como una clase de funciones, se caracterizan ampliamente en muchas áreas de la investigación matemática moderna, particularmente en relación con la evaluación de muchas clases de integrales logarítmicas y pollogarítmicas, tanto definidas como indefinidas. También tienen numerosas aplicaciones con respecto a la suma de series hipergeométricas, sumas que involucran el inverso del coeficiente binomial central, sumas de la función poligamma y la serie L de Dirichlet.
