¡Qué problema aparentemente simple!
Suponga que, en el punto más apretado de la rotación, las esquinas traseras del armario tocan el piso en [matemáticas] A [/ matemáticas] y la pared opuesta en [matemáticas] B [/ matemáticas], y el lado frontal toca la parte superior de la puerta en [matemáticas] P [/ matemáticas]. Deje [math] O [/ math] ser la parte inferior de la pared opuesta. Deje que [math] u = 1.15 \, \ text {m} [/ math] sea la distancia desde la puerta a la pared opuesta, [math] v = 1.97 \, \ text {m} [/ math] la altura de la puerta, [matemática] h = AB [/ matemática] la altura del armario, [matemática] w = d (P, AB) [/ matemática] el ancho del vestuario, [matemática] x = OA [/ matemática] y [matemática] y = OB [/ matemática].
Por el teorema de Pitágoras,
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = h ^ 2 [/ matemáticas],
y contando el área de [math] PAOB [/ math] de dos maneras diferentes,
[matemáticas] hw + xy = 2PAB + 2AOB = 2PAO + 2POB [/ matemáticas]
[matemáticas] = xv + yu [/ matemáticas].
Si este es el punto más apretado, debe haber una dirección de movimiento [matemática] ds [/ matemática] tal que [matemática] \ tfrac {dh} {ds} = \ tfrac {dw} {ds} = 0 [ /matemáticas]. Entonces las ecuaciones anteriores se diferencian a
[matemáticas] 2x \ frac {dx} {ds} + 2y \ frac {dy} {ds} = \ frac {d} {ds} (x ^ 2 + y ^ 2) = \ frac {d} {ds} h ^ 2 = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] y \ frac {dx} {ds} + x \ frac {dy} {ds} = \ frac {d} {ds} (hw + xy) = \ frac {d} {ds} (xv + yu) [/matemáticas]
[matemáticas] = v \ frac {dx} {ds} + u \ frac {dy} {ds} [/ matemáticas],
así que eso
[matemáticas] \ frac {y} {x} = – \ frac {dx / ds} {dy / ds} = \ frac {x – u} {y – v} [/ matemáticas].
Ahora tenemos tres ecuaciones independientes en cuatro variables, por lo que deberíamos poder eliminar [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] y relacionar [matemáticas] h [/ matemáticas] con [matemáticas] w [ /matemáticas].
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Lamentablemente, la solución es ridícula. La forma más simple que puedo encontrar es
[matemáticas] (4w ^ 2 + 3 (h ^ 2 – u ^ 2 – v ^ 2)) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (8w ^ 3 – 9 (2h ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2) w + 27h uv) ^ 2 [/ matemáticas],
que es un polinomio de grado 6 en [matemáticas] h [/ matemáticas] y grado 4 en [matemáticas] w [/ matemáticas] (los términos [matemáticas] 64w ^ 6 [/ matemáticas] se cancelan al expandirse). Entonces, en principio, se podría escribir una expresión para [math] w [/ math] en términos de [math] h [/ math], pero llenaría una página y sería de uso limitado para su problema en movimiento.
(Sin embargo, el caso especial [matemática] w = 0 [/ matemática] es manejable a mano y muestra que la envoltura de una escalera descendente traza el astroide [matemática] u ^ {2/3} + v ^ {2 / 3} = h ^ {2/3} [/ math]. Esto limita la altura del armario a aproximadamente [math] 4.36 \, \ text {m} [/ math] si fuera completamente plano.)
En cualquier caso, el armario debe caber siempre que
[matemáticas] (4w ^ 2 + 3 (h ^ 2 – u ^ 2 – v ^ 2)) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemática] \ le (8w ^ 3 – 9 (2h ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2) w + 27h uv) ^ 2 [/ matemática].
Aquí hay un gráfico de los tamaños más grandes que se ajustarán, cortesía de Mathematica:
(Ignore la sección inferior del gráfico, eso sería para girar un guardarropa muy gordo, que ya sobresale de la habitación, en la dirección incorrecta, por lo que termina en la habitación de lado. Tal armario está limitado por una esquina golpear [matemáticas] P [/ matemáticas] en lugar de la parte frontal, lo que hace que las matemáticas sean significativamente más simples; obtienes [matemáticas] w ^ 2 (w ^ 2 – u ^ 2) \ le (wv – hu) ^ 2 [/ matemáticas]. Curiosamente, las dos secciones no se encuentran en [matemáticas] (u, v) [/ matemáticas], aquí la intersección es aproximadamente [matemáticas] (1.1568356 \, \ text {m}, 1.8553899 \, \ text {m}) [/ math]. Ese armario tocará [math] P [/ math] dos veces).