Es.
La prueba utilizará una teoría de grupo elemental (solo qué es un grupo y qué significa para un grupo ser monógena) y continuidad.
Lema 1: Sea (G, +) un grupo aditivo de [math] \ mathbb R [/ math]. Entonces G es monógena o densa en [math] \ mathbb R. [/ Math]
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Boceto de prueba: [math] G \ not = \ emptyset [/ math] y es simétrico ([math] \ forall g \ in G, -g \ in G [/ math]). Por lo tanto, el conjunto [matemática] G ^ + = G \ cap \ mathbb R _ + ^ * [/ matemática] tiene un valor mínimo [matemática] g_o \ ge 0 [/ matemática]. Discutir los casos [math] g_o = 0 [/ math] y [math] g_o \ gt 0 [/ math] será la distinción.
No doy la prueba completa aquí, ya que hay muchas pruebas que se pueden encontrar en Internet.
Teorema 1: [matemática] C = \ {\ cos (n), n \ in \ mathbb N \} [/ matemática] es densa en [matemática] [- 1,1] [/ matemática].
Prueba: Considere el grupo [math] G = \ mathbb Z + 2 \ pi \ mathbb Z [/ math]. Precisamente tenemos [matemáticas] C = \ cos (G) [/ matemáticas]. Deje [math] x \ in [-1,1] [/ math]. Notemos [math] y = \ arccos (x) [/ math]. Dado que G no es monógena, es densa en [math] \ mathbb R [/ math] y por lo tanto existe [math] (a_n) _ {n \ in \ mathbb N} \ en G ^ {\ mathbb N} [/ matemáticas] que converge hacia y.
Pero como [math] \ cos (a_n) \ en C [/ math] y cos es continuo, [math] \ cos (a_n) \ xrightarrow {n \ to + \ infty} \ cos (y) = x [/ math ], que concluye la prueba.
¿Por qué comencé con cos en lugar de pecado? Porque, a priori , algunas [matemáticas] a_n [/ matemáticas] podrían ser negativas. Esto no es un problema ya que cos es una función par.
De hecho, estoy bloqueado para mostrarlo en [math] \ sin [/ math], he intentado algunas cosas diferentes pero ninguna ha sido fructífera hasta ahora. Cualquier ayuda es bienvenida!
