Usando [math] y = -x [/ math] por conveniencia,
[matemáticas] \ log (1-y) = – \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {y ^ k} {k}. [/ matemáticas]
Si [math] y = 1 [/ math], entonces obtenemos la serie armónica (negativa de la), que es bien divergente ya que el número de términos tiende al infinito. Sin embargo, para [matemáticas] 0 <= y <1 [/ matemáticas], obtenemos una serie geométrica modificada. Dejando
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[matemática] G (y) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty y ^ n = \ frac {y} {1-y} [/ math],
y
[matemáticas] S (y) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty y ^ n / n [/ matemáticas],
observe que cada término en [matemáticas] G (y) [/ matemáticas] es mayor o igual a cada término en [matemáticas] S (y) [/ matemáticas] del mismo orden en [matemáticas] y [/ matemáticas]. Dado que [matemática] S (y)> = 0 [/ matemática] debido a [matemática] 0 <= y <1 [/ matemática], [matemática] S (y) [/ matemática] se encuentra entre una serie convergente y 0 , lo que significa que [math] S (y) [/ math] es convergente y, por lo tanto, que la serie para [math] \ log (1 + x) [/ math] funciona para [math] -1 <x <= 0 [/ matemáticas].
El razonamiento anterior sobre emparejar la serie entre una serie convergente y 0 es una variación del teorema de compresión.
