¿Cuál es la secuencia numérica repetida más larga conocida hasta la fecha en la expansión decimal de [math] \ pi [/ math]?

La cadena 666,666,666 se produce en la posición 45,681,781. Esta cadena ocurre 1 veces en los primeros 200M dígitos de Pi.
contando desde el primer dígito después del punto decimal. El 3. no se cuenta.

La cadena 777,777,777 se produce en la posición 24,658,601. Esta cadena ocurre 1 veces en los primeros 200M dígitos de Pi.
contando desde el primer dígito después del punto decimal. El 3. no se cuenta.

La cadena 888,888,888 se produce en la posición 46,663,520. Esta cadena ocurre 1 veces en los primeros 200M dígitos de Pi.
contando desde el primer dígito después del punto decimal. El 3. no se cuenta.

La cadena 121,212,121 ocurre en la posición 191,229,345. Esta cadena ocurre 1 veces en los primeros 200M dígitos de Pi.
contando desde el primer dígito después del punto decimal. El 3. no se cuenta.

Hola,

Una respuesta es: nadie puede saberlo. El número PI es irracional y sigue y sigue hasta que tenga una cantidad infinita de decimales. Solo podría decir cuál es la secuencia de repetición más larga, si supiera el número completo. Asumiendo que toma algún tiempo calcular más decimales para PI y toma algo de tiempo (y memoria) comparar la secuencia más larga, necesitaría una cantidad infinita de tiempo. Los astrónomos pueden decirte que el universo no durará tanto. Incluso si así fuera, no vivirás lo suficiente como para esperar el resultado.

Pero si lo miro desde otro ángulo: dado que el número PI tiene un número infinito de decimales, CADA secuencia de la misma longitud tiene la misma probabilidad de ocurrir. Entonces podemos aplicar la ley de los grandes números, que básicamente establece que para una gran cantidad de experimentos, el resultado se aproxima al valor teórico esperado. Esto significaría que CADA secuencia de n dígitos ocurrirá (¿casi?) La misma cantidad de veces. Los ejemplos a continuación son solo secuencias que ocurren “temprano” en el número PI. Si mira más “a la derecha”, también encontrará un 999,999,999 repetido. El hecho de que ya encontraron una ocurrencia repetida de 666,666,666 y 777,777,777 y 888,888,888 solo refuerza mi afirmación.

Es un tributo al espíritu humano, que podemos calcular resultados para problemas difíciles de NP que tomarían más tiempo calcular la forma exhaustiva de lo que le queda al universo. Solo por el simple pensamiento, podemos deducir que las secuencias de longitud n deben tener la misma frecuencia. Incluso podemos hacer una declaración más audaz: dado el número PI sigue y sigue y los decimales son aleatorios, cualquier subcadena de n dígitos ocurrirá una cantidad infinita de veces. Si cree que las cadenas de 2 dígitos se repetirán con más frecuencia que las cadenas de 3, 4, 5 o 1000 dígitos, podría estar equivocado: la cardinalidad de esos conjuntos es la misma. Si, por ejemplo, hace una lista (conjunto) de posiciones de ocurrencias para la subcadena “123” en PI y hace un conjunto para las posiciones de la subcadena “456789”, hay una biyección uno a uno de cualquiera de estos conjuntos al otro. Aunque contradictorio, ambas cadenas “123” y “456789” se repetirán un número infinito de veces, y por lo tanto “el mismo” número de veces …

En caso de que se pregunte que supongo tan fácilmente que la secuencia de dígitos es aleatoria: he oído hablar de una ley que dice que cualquier número racional p / q, si lo escribe como un número fraccionario en cualquier base (integral)> = 2, es finito (como 1/4 = 0.25 en decimal) o debe repetirse después de q dígitos como máximo. La longitud máxima de una secuencia repetitiva es, por lo tanto, q-1 dígitos. Un ejemplo es 1/7 que en decimal es 0,142857 142857 142857 … Tenga en cuenta que la secuencia tiene una longitud de 7-1 = 6.

Ya SABEMOS que PI es irracional, por lo que NO podemos escribirlo como un número racional (cociente). De esto se deduce que la distribución de subcadenas en PI es aleatoria.

Algunos otros ya han respondido con cadenas conocidas, pero creo que una pregunta interesante es si realmente podemos saber una respuesta final. Los dígitos de Pi continúan para siempre, y nunca presentan un patrón repetitivo permanente … de esa manera son como un generador de números aleatorios. Pero, eso no es lo mismo que decir que se generarán todas las cadenas posibles. Sin embargo, no conozco ninguna prueba de que una cadena dada se pueda eliminar como una posibilidad, por lo que, a menos que alguien más lo sepa, diría que esta es una pregunta sin una respuesta definitiva, a menos que limite el número de dígitos de pi examinar.

La pregunta debería ser: ¿cuál es la secuencia numérica repetida más larga conocida en el decimal de Pi?

Tengo una advertencia / nitpick: los decimales de pi se repiten. Simplemente no se repiten .

Siento que esta distinción evita las tangentes semánticas comunes.