Hay algunas definiciones algebraicas y geométricas básicas de los octoniones que uno puede “entender” sin demasiadas matemáticas. Solo voy a tratar de ilustrarlos intuitivamente. En términos de uso, hay algo de uso en física [0] pero los octoniones se inventaron en el siglo XIX antes de la invención de la teoría de cuerdas. Son importantes en la teoría de las álgebras complejas de Clifford.
Comencemos con el conjunto de números reales [math] \ mathbb {R} [/ math]. Este conjunto es un campo , lo que significa que la división está bien definida. ¿Qué sucede si voy al avión [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]? ¿Cómo tomo el cociente dos elementos [matemática] (x, y), (x ‘, y’) [/ matemática]? Usamos el isomorfismo lineal del plano y los números complejos, [math] (x, y) \ mapsto x + iy [/ math]:
[matemáticas] \ frac {x + iy} {w + iz} = \ frac {(x + iy) (w-iz)} {w ^ 2 + z ^ 2} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac { xw -yz + i (yw -xz)} {w ^ 2 + z ^ 2} [/ math]
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¡Excelente! Ahora, ¿qué tal el cociente de puntos en el espacio tridimensional? Resulta que no existe tal cociente .
Resulta que los únicos otros espacios que admiten ‘cocientes’ (de esta manera ciertamente ad hoc que estoy explicando) son [math] \ mathbb {R} ^ 4, \ mathbb {R} ^ 8 [/ math]. Este fue un resultado de tour de force del siglo XX y si uno tiene una buena formación en topología algebraica, lo remito a los paquetes de vectores de Allen Hatcher y K-Theory [1] para ver la prueba. Los cuaterniones son el análogo de cuatro dimensiones de los números complejos que dota a [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] con un cociente y los octonions dotan [math] \ mathbb {R} ^ 8 [/ math] con un cociente Uno puede construir esto exactamente usando algo conocido como la construcción Cayley-Dickson .
Ahora también hay una definición geométrica que llevará un poco más de tiempo explicar. Espero completar esto más adelante, pero por ahora tenga en cuenta que la ‘división’ de dos números complejos [matemática] z_1, z_2 [/ matemática] de la unidad de orden (por ejemplo, [matemática] z \ overline {z} = 1 [/ matemática] , entonces [math] z = e ^ {i \ theta}, \ theta \ in [0,2 \ pi) [/ math]) corresponde a una rotación en el plano.
[0] http://math.ucr.edu/home/baez/oc…
[1] http://www.math.cornell.edu/~hat…
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