Cómo explicar a las personas no matemáticas lo que significan ‘sistemas no lineales y complejos’

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Los sistemas lineales simplemente implican que la suma funciona. Empacar una bolsa con cosas es lineal: las cosas se conservan.

La mayoría de las cosas en el mundo real no son lineales, pero a escalas o amplitudes de baja energía tienen un comportamiento lineal que es más fácil de entender y analizar.

Un buen ejemplo es la masa en un resorte. Para amplitudes bajas, la primavera está muy bien aproximada por la ley de Hooke. Es decir, si lo estira dos veces más, retrocede el doble de fuerza. Para amplitudes mayores, el resorte es menos ideal y su comportamiento no es lineal, y puede ser difícil analizar la situación.

Los sistemas complejos normalmente implican muchas variables que interactúan entre sí. Muchos sistemas biológicos son muy complejos, al igual que el clima, la dinámica de fluidos y otras cosas que no se comprenden muy bien. Estos sistemas a menudo no son lineales y, a menudo, no tienen un buen régimen lineal en el que se pueda entender algún comportamiento de referencia.

Inmediatamente me viene a la mente un ejemplo reciente del mundo real, el planeta enano Plutón y sus diversas lunas bailando impredeciblemente en el caos.

Un sistema lineal relativamente simple es un objeto pequeño como la Luna que orbita alrededor de un objeto mucho más masivo como la Tierra (o la Tierra que orbita alrededor del Sol aún más masivo). La órbita del objeto más pequeño en su mayor parte está determinada en gran medida por la atracción gravitacional del objeto más grande.

Un sistema complejo no lineal sería el planeta enano Plutón y sus 5 lunas, una de las cuales ( Caronte (luna) ) es la mitad de la masa de Plutón, lo que convierte a Plutón en un planeta binario. El movimiento de los 6 cuerpos es una forma compleja del problema de los n cuerpos.
El comportamiento observado del complejo sistema no lineal es aparentemente aleatorio y a veces se describe como el efecto Mariposa en el sentido de que un pequeño cambio en las condiciones iniciales resulta en un gran cambio en el comportamiento observado. El sistema es un sistema determinista pero es sensible a las condiciones iniciales.

El Hubble de la NASA encuentra que las lunas de Plutón caen en un caos absoluto

Las lunas se tambalean porque están incrustadas en un campo gravitacional que cambia constantemente. Este cambio es creado por el sistema de doble planeta de Plutón y Caronte mientras giran unos sobre otros. Plutón y Caronte se llaman planeta doble porque comparten un centro de gravedad común ubicado en el espacio entre los cuerpos. Su campo gravitacional variable hace que las lunas más pequeñas caigan erráticamente. El efecto se ve reforzado por la forma de fútbol de las lunas, en lugar de esférica. Los científicos creen que es probable que las otras dos lunas de Plutón, Kerberos y Styx, se encuentren en una situación similar.

El precio de Uber Surge es un ejemplo bueno e intuitivo de un sistema no lineal. Uber vincula a las personas que buscan viajes en automóvil con los conductores que buscan tarifas. Cuando hay escasez de conductores, Uber aumenta las tarifas.

Algunas escaseces de conductores ocurren porque muchas personas comparten el mismo horario: será difícil obtener un automóvil durante la hora pico, pero es más fácil obtenerlo a las 3 p.m. Pero el punto del aumento de precios no es (solo) ganar más dinero con tarifas más desesperadas. También es conseguir más autos en la carretera cuando hay más demanda.

Una buena descripción de un sistema lineal podría ser: llevaré un automóvil a casa si cuesta $ 10, pero si cuesta $ 20 tomaré el metro. Otro sistema lineal podría ser un conductor pensando que está dispuesto a trabajar en vacaciones por $ 200 adicionales, pero se quedaría en casa si solo esperara ganar $ 100. Estos dos sistemas bastante directos interactúan de manera sorprendente.

Notoriamente, el precio de aumento de Uber fue extremadamente alto (he escuchado hasta 9 veces más normal) alrededor de la 1 a.m. ¿Por qué? Porque los conductores que estaban en las carreteras después del Año Nuevo 2014 ganaron una cantidad asombrosa de dinero transportando fiesteros borrachos a sus hogares. Por lo tanto, aparecieron más conductores en 2015. Mientras tanto, las tarifas eran más conscientes de que el aumento de los precios, aunque era poco probable que arruinara su noche con suficiente champán, probablemente haría que una mañana difícil fuera aún más dura.

El próximo año nuevo, el múltiplo final es una incógnita. Porque el múltiplo será causado por: qué hacen las tarifas, qué hacen los conductores, qué tarifas creen que harán los conductores, qué creen que harán las tarifas, etc.

Como otros respondedores han señalado, “no lineal” describe la mayoría de los sistemas con los que interactuamos, y “lineal” describe la mayoría de los sistemas que podemos modelar trivialmente. Se puede considerar a Uber como un esfuerzo por reunir datos suficientes para imponer un poco más de linealidad en un sistema no lineal, un viaje en taxi posterior a la fiesta a la vez.

Una explicación intuitiva simple que se me ocurre:

El sistema no lineal es un sistema cuyos parámetros, cuando se trazan en un sistema de coordenadas (solo podemos trazar en coordenadas de hasta 3 dimensiones, pero esto se aplica en cualquier dimensión extendida), no forman una línea recta.

Mientras tanto, el sistema complejo es un sistema que en el mundo real viene con propiedades sinusoidales u oscilatorias (porque la función seno misma se puede ver como una función de variable compleja).

Son sistemas en los que un pequeño cambio en la entrada provoca un cambio masivo en la salida.

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