¿Cuáles son algunas diferencias entre el análisis real y el análisis funcional?

Como cuestión práctica (como han dicho otros), el Análisis Real generalmente es lo primero, aunque no hay escasez de temas que pueden caer tanto en un libro de texto de Análisis Real como en un Análisis Funcional.

Las obras de referencia estándar del mismo autor son los siguientes libros, todos de Walter Rudin

Principios del análisis matemático (también conocido como “baby Rudin”)
Análisis real y complejo
Análisis funcional

El primer libro se enseña ampliamente en el tercer año de pregrado.
El tercer libro se enseña ampliamente en el primer año de posgrado.
El segundo libro es menos popular, pero tiene un lugar comparable al pilar principal, que es el Análisis Real de HL Royden.

Como tengo los 4 libros a mano, echemos un vistazo a las tablas de contenido:

Bebé Rudin

• Sistemas de números reales y complejos
• Topología básica
• Secuencias numéricas y series
• Continuidad
• Diferenciación
• Rieeman-Stjieljes Integral
• Secuencias y series de funciones
• Algunas funciones especiales (especialmente la función gamma)
• Funciones de varias variables
• Integración de formas diferenciales (teorema de Stokes generalizado)
• Teoría de Lebesgue

Tenga en cuenta que los dos últimos capítulos con frecuencia no se enseñan. No fueron incluidos en la clase que tomé
Ahora para Royden:

• Teoría de conjuntos
• Teoría de las funciones de una variable real
• Medida Lebesgue
• La integral de Lebesgue
• Diferenciación e Integración
• Los espacios clásicos de Banach (un tema que se repite más adelante en el análisis funcional)
• Espacios métricos (cubiertos con menos generalidad en Baby Rudin)
• Espacios topológicos (de nuevo en mayor detalle que en Baby Rudin)
• Espacios compactos: un tema definido de superposición con el análisis funcional, pero los resultados más interesantes aquí están marcados como opcionales, se omitieron la primera vez
• Espacios de Banach: algunos subtemas de análisis funcional avanzado, pero todos marcados como opcionales / avanzados
• Medición e integración: enfoque general de estos temas en lugar del tratamiento de Lebesgue para la línea real. Incluye la crucial [matemática] L ^ p [/ matemática] y el teorema de Radon-Nikodym, ambos temas del análisis funcional [/ matemática]
• más cosas, especialmente Daniell Integral, que es un enfoque funcional de la integral de Lesbesgue.
• Un resultado de análisis funcional fundamental y elemental nunca mencionado en Royden: el teorema de Hahn-Banach, el punto de partida para mover las operaciones a espacios de dimensión infinita.

Rudin medio (análisis real y complejo)

• Integración abstracta
• Medidas positivas de Borel: utilizadas en teoría de probabilidad
• [matemática] L ^ p [/ matemática] espacios
• Teoría del espacio de Hilbert elemental: mucho más en Rudin Senior
• Ejemplos de técnicas espaciales de Banach
• Medidas complejas: un tema ignorado en muchos otros libros. A Rudin le gusta unificar análisis reales y complejos, pero no todos están ansiosos por hacerlo.
• Integración en espacios de productos: una explicación más clara de este tema crucial que la que se puede encontrar en cualquier otro lugar.
• Diferenciación
• Transformada de Fourier
• Teoría elemental de funciones homofóricas: despojado del lenguaje extraño, ¡esta es una teoría variable compleja! ¿Estamos en el camino correcto? Rudin los unifica de una manera que otros autores no lo han hecho.
• Funciones armónicas: la razón por la que Rudin está unificando los mundos real y complejo es que chocan en la teoría de la función armónica. Las partes reales e imaginarias de una función holomorpica son funciones armónicas de 2 variables reales.
• Mucho más en este libro, algunas de las teorías de PDE y algunas de análisis complejos.

Finalmente, la lista de temas de Rudin es similar pero bastante diferente

• Espacios de vectores topológicos
• Integridad: incluye el teorema de mapeo abierto
• Convexidad: incluye el teorema de Hahn-Banach
• Dualidad en los espacios de Banach: aquí es donde los verdaderos funcionales , objetos lineales que actúan sobre el objetivo para producir un número real, ingresan a la imagen.
• Funciones de prueba y distribuciones: varias variedades de distribuciones son de gran utilidad en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales.
• Álgebras de Banach y teoría espectral: este rincón del análisis funcional ayuda a resolver la versión de Heisenberg de la ecuación de Schrodinger en física cuántica.

Siempre vale la pena consultar con los profesores del departamento para verificar qué habrá en el plan de estudios para una clase determinada, ya que puede variar de una escuela a otra. Dicho esto, el análisis funcional es casi universalmente enseñado como una continuación del análisis real: el análisis real le da la base para pensar sobre límites y espacios métricos, que luego se utilizan en análisis complejos, teoría de medidas y análisis funcional.

Por lo general, para aprender el análisis funcional, primero debe tener una sólida comprensión del análisis real, el álgebra lineal y la teoría de la medida.

Un funcional es una función de una función (o si lo prefiere, una función que come funciones). Por ejemplo, si [math] | g |

[matemáticas] I_g (f): = \ int g (x) \ cdot f (x) dx [/ matemáticas]

Gran parte de la base para el análisis funcional proviene de lo que normalmente sería parte de un curso de Análisis Real. Entonces, mientras está en Real Analysis, puede probar que [math] | I_g (f) | \ leq M \ cdot \ int | f (x) | dx [/ math], solo en el Análisis funcional aplicaría un lenguaje sofisticado, como “el espacio de funciones limitadas es naturalmente isomorfo al espacio de funciones lineales que actúan sobre el espacio de funciones integrables “. O si eres más maduro, Real Analysis te enseña la desigualdad de Holder, que el análisis funcional necesita porque está más interesado en la afirmación de que [matemáticas] L ^ {p *} \ cong L ^ q [/ matemáticas], [matemáticas] 1

El análisis funcional a menudo consiste en dar vuelta los problemas al revés para obtener algún tipo de mejor perspectiva para resolver el problema, pero sería un hipócrita si tuviera que culparlo por encontrar esa perspectiva particular incómoda y difícil de acostumbrar, a Al menos al principio. El análisis real aborda mucho más a menudo las cosas desde los primeros principios en la forma en que los encuentra por primera vez, salvando los problemas que requieren una perspectiva diferente para más adelante. Además, el Análisis funcional va un poco más allá al desarrollar aún más nociones de tipos de convergencia más fuertes, más débiles y equivalentes que puede investigar en menor medida en el Análisis real: uniforme, puntual, casi en todas partes, en [matemáticas] L ^ 1 [ / matemática] (que significa la diferencia [matemática] \ int | f_n (x) -f (x) | dx \ a 0 [/ matemática] cuando n va al infinito) … hay aún más por ahí.

Principalmente, estoy sorprendido de que Real Analysis no esté en la lista como un requisito previo para el Análisis Funcional. Por supuesto, hay temas especiales en el análisis real que son más avanzados, pero un curso como ese probablemente tendría un nombre diferente.

Aquí hay una lista de algunos de los temas cubiertos en el análisis real de pregrado en mi universidad: axioma de límite superior mínimo, construcción de números reales, topología de espacios métricos, espacios de Banach, Heine-Borel, Bolzano-Weierstrass, integridad, principio de mapeo de contracción, secuencias y series de funciones, Arzela-Ascoli, aproximación de Weierstrass, transformaciones lineales acotadas y la derivada, integral de Riemann-Stieltjes, medida e integral de Lebesgue, lema de cobertura Vitali, espacios L ^ p.

Aquí hay algunos del análisis funcional. Estos están cubiertos en el primer término de la secuencia de análisis de posgrado (junto con algunos análisis reales): Hahn-Banach, principio de delimitación uniforme (Banach-Steinhaus), principio de mapeo abierto, espacios de Hilbert, espacios de Banach, operadores lineales delimitados, transformada de Fourier, Banach-Alaoglu.

Si su escuela tiene clases separadas para análisis real y funcional, primero debe realizar un análisis real. El análisis funcional utilizará elementos como convergencia, normas, integración (Lebesgue) en espacios de medida, etc. Posiblemente podría tomarlos simultáneamente, pero dependería de los detalles de sus clases.