Puede pensar en un ultrafiltro como un sistema de votación : es una forma de convertir una colección de votos entre dos opciones en una sola opción de una de las opciones.
La traducción entre los dos conceptos es la siguiente: piense en un conjunto X como una colección de votantes y un subconjunto de X como una colección de votos: todos en el subconjunto votaron por A, y todos los que no en el subconjunto votaron por B. El ultrafiltro selecciona qué conjuntos de votos realmente hacen que el sistema elija la opción A. Cada uno de los axiomas del ultrafiltro puede interpretarse como un criterio diferente que nos gustaría que cumpliera un sistema de votación. Por ejemplo, uno de los axiomas dice que si todos votan por A, entonces el sistema debería elegir A.
De hecho, estos criterios son esencialmente los mismos que los del teorema de imposibilidad de Arrow, que puede interpretarse como que dice que los únicos ultrafiltros en un conjunto finito son las “dictaduras”, donde el sistema de votación es que usted elija lo que el dictador votó. En lenguaje ultrafiltro, llamamos a las dictaduras “ultrafiltros principales”.
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Pero, por supuesto, los ultrafiltros interesantes son los que no son principales: ¡las dictaduras son aburridas! En matemáticas, el Axioma de elección implica que hay ultrafiltros no principales en cada conjunto infinito. En otras palabras, el teorema de Arrow es falso si se permiten infinitos votantes.
