¿Qué es [math] 0 \ times \ infty [/ math]? ¿Por qué no está definido?

La multiplicación es algo que puedes hacer con dos números para dar un tercer número. Antes de que puedas comenzar a hablar sobre la multiplicación, primero debes definir qué quieres decir con un número. De hecho, hay muchos tipos de sistemas numéricos que puede considerar. El más común (y probablemente el que está pensando) son los números reales, pero hay muchos más (por ejemplo, los números complejos y los números racionales). En general, un conjunto de números debe satisfacer un conjunto de axiomas, y los matemáticos se refieren a tales sistemas como un campo.

Si observa todos los números reales, puede definir la multiplicación de manera coherente con los axiomas que debe satisfacer un campo. Sin embargo, si también incluye el infinito como un número, estos axiomas ya no se cumplen y los números reales ya no forman un campo. Dicho de otra manera, el infinito no puede considerarse como un número real. Esto a su vez significa que no significa nada multiplicar el número real cero por infinito. De hecho, tiene casi la misma cantidad de sentido que multiplicar una manzana por una naranja. El hecho de que pueda decir la oración en palabras no significa que tenga ningún contenido lógico.

Ahora, en aplicaciones reales, a menudo usamos infinito pero de una manera un poco más sutil. No queremos verlo como un número en sí mismo, sino más bien como una operación que puede realizar en funciones. Supongamos, por ejemplo, que te pregunto cuál es la función

[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

parece cuando el argumento, x, se vuelve muy grande. Diría que se hace cada vez más pequeño. De hecho, al hacer que el argumento sea arbitrariamente grande, puede hacer que la función sea arbitrariamente pequeña, o mejor aún, arbitrariamente cercana al número cero. La forma en que escribimos eso es

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} = 0 [/ matemáticas]

No queremos decir que enchufar el número infinito en la función le da cero (dado que infinito no es un número, esto no tendría ningún sentido). En cambio, solo queremos decir que a medida que conecta números cada vez más grandes, el valor de la función se aproxima a cero.

Ahora, veamos otra función

[matemáticas] g (x) = \ frac {x} {x} [/ matemáticas]

¿Qué le sucede a esta función cuando conecta números cada vez más grandes? Bueno, si miras la función, en realidad se simplifica dar siempre el mismo número (uno). Como resultado, el límite también es uno:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {x} {x} = 1 [/ matemáticas]

Ahora, podemos escribir este límite de una manera ligeramente diferente

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} \ cdot x = 1 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que mientras el producto se acerca al número uno, el primer número se vuelve cada vez más pequeño (se acerca a cero) mientras que el segundo se hace más y más grande (digamos que se acerca al infinito aunque el infinito no es técnicamente un número). Si quisiéramos ser MUY descuidados, podríamos concluir que

[matemáticas] 0 \ cdot \ infty = 1 [/ matemáticas]

Ahora considere la función

[matemáticas] h (x) = \ frac {1} {x ^ 2} \ cdot x [/ matemáticas]

Esta vez, la función se hará cada vez más pequeña, acercándose a cero

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} h (x) = 0 [/ matemáticas]

Nuevamente, el primer término se acerca a cero, mientras que el segundo se puede decir que se acerca al infinito, por lo que si quisiéramos volver a ser muy descuidados, podríamos escribir

[matemáticas] 0 \ cdot \ infty = 0 [/ matemáticas]

El punto es que, dependiendo de la función que considere, puede obtener límites muy diferentes y, dado que el infinito solo existe en el contexto de los límites, su pregunta realmente no tiene una respuesta única. En otras palabras, tendrías que elegir una función que reproduzca algo similar a lo que tengo arriba y luego analizar esa función. Hay una buena manera de hacer esto usando algo llamado Regla de L’Hopital del cálculo que puedes leer en los enlaces a continuación.

Campos: campo (matemáticas)
La regla de L’Hopital: la regla de L’Hôpital

El razonamiento parece muy lógico, pero las matemáticas no siempre son tan evidentes como se señala en los comentarios de las preguntas.

Profundizando en los primeros principios, digamos que el infinito por definición representa un número (N) dividido por cero.
∞ = N / 0
Esto es muy interesante, porque el infinito representa libremente una especie de convergencia unidireccional, ya que N puede ser cualquier cosa 1,2, 1000, 1.333, etc., pero cuando se divide por 0 converge al infinito. Esto también lleva a una noción de indeterminación: no podemos estar seguros de qué número se dividió por 0 para llegar a este infinito.
ej .: 3 =? / 4
sabemos que es 12 y solo 12, seguro.
pero, ∞ =? / 0,
no podemos estar seguros de qué valor se dividió por 0 para obtener ese infinito.

Volviendo a su consulta, volvamos a visitar:
∞ = N / 0
multiplicando ambos lados por 0:
∞ x 0 = N / 0 x 0
es decir
∞ x 0 = N x (0/0)
Esto revela algo hermoso, infinito por 0 es un múltiplo finito de (0/0). N siendo un número finito, toda la indeterminación debe estar únicamente en (0/0), y se llama apropiadamente indeterminado.

La moraleja de la historia es: creemos que cada número positivo cuando se divide por 0, CONVIERTE en una sola monstruosidad: infinito. Esto lleva a que todas estas cosas raras como 0x∞ no sean 0, a pesar de que la multiplicación por cero, por definición, es cero, ya que la multiplicación es la repetición de la suma. Esto lleva a 2 cosas, debe haber 2 nociones de multiplicación, una definida por la suma como usted ha demostrado, y otra como la inversa de la división. Esto último no tiene sentido, porque la división es la inversa de la multiplicación. Entonces, la mejor apuesta para comenzar con el infinito sería:
Infinito es un número que multiplicado por cero puede dar algo distinto de cero.
∞ x 0 = N
O puede pensar en ∞ como cuántas piezas iguales de 1 debo hacer para que cada pieza sea 0.
1 / ∞ = 0
Ahora multiplique ambos lados por cualquier número finito N.
N / ∞ = 0
Entonces resulta que si haces tantas (∞) piezas de cualquier cosa (N) conduciría a cero, esto explica tanto la CONVERGENCIA como la indeterminación.

Entonces, ∞x0 = 0/0 = cantidad indeterminada, por el bien de la paz mundial.

Como siempre, debes aplicar la regla del infinito de Bustany :

La intuición y el infinito no se mezclan

deseche la intuición y comience a usar definiciones formales. Luego hay una serie de definiciones que necesita.

En primer lugar, ¿a qué infinito te refieres? Si no sabías que había más de un infinito, entonces ese es tu primer ejemplo de que la intuición va mal.

En segundo lugar, ha asumido que la multiplicación se define en términos de suma repetida, y que la suma tiene sentido cuando la repite indefinidamente.

En tercer lugar, ha asumido que la multiplicación por “infinito” es lo mismo que la suma repetida indefinida.

Una vez que aclare estos supuestos, encontrará que [math] 0 \ times \ infty [/ math] puede igualar varias cosas, incluido cero, pero generalmente no está definido .

Supongo que te refieres a por qué x / 0 no está definido y por qué no puede ser infinito. En realidad, lim y tiende a 0; x / y = infinito. Pero x / y donde y = 0 no está definido. No está definido porque no existe ningún número que satisfaga,
x = algo * 0. Recuerde que la división no es más que la inversa de la multiplicación, es decir, un número z = x / y se define por z * y = x o (x / y) * y = x.

Editar:
 
Me di cuenta de que estás preguntando por qué 0 × ∞ = indefinido. No reconocí que por x quieres decir multiplicación. Le recomiendo que lea esta publicación (página en stackexchange.com) en math.stackexchange. Por qué no está definido es porque el infinito no es un número, por lo que la aritmética habitual no se aplica a él. Cuál sería el valor de 0 × ∞ depende de la definición de ∞. Por ejemplo, en cálculo ∞ se define como,

La expresión 0 × ∞ = 0 × lim_ {x → 0 ^ + } k / x. Esta expresión no se puede resolver, por lo que se deja sin definir.

Infinito se define como “todos los números, negativos, positivos, enteros y fraccionarios” cada uno y se puede subdividir en todos los grupos más pequeños. Por ejemplo, hay un número infinito de valores pares. En segundo lugar, el infinito es “un número que no se puede agotar. Cualquier (otro) número x 0 es cero. Pero como el infinito no se puede agotar, este es un punto muerto matemático, donde no es ni infinito ni 0.

En cuanto a la pseudo argumentación, puedes argumentar:
1) todo multiplicado por 0 es igual a 0 o
2) todo multiplicado por infinito es igual a + o – infinito cuando se multiplica con números reales, sin importar cuán pequeño sea el número.

Por lo tanto, sugeriría lo siguiente. Si a es un número real, entonces:
a / Infinito = 0 por lo tanto: 0 * infinito = a mientras que a es cualquier número real.

De lo que se deduce que Infinity * 0 no está definido.

Es una forma indeterminada, amigo.
Una expresión matemática es indeterminada si no se determina de manera definitiva o precisa.
Por ejemplo, un límite de la forma 0/0, es decir, dónde -es indeterminado ya que el valor del límite general en realidad depende del comportamiento limitante de la combinación de las dos funciones.

Hay siete formas indeterminadas:

Dada una definición adecuada de [math] + \ infty [/ math], la respuesta es cero (exactamente cero veces cualquier cosa es simplemente cero).

Si no quiere decir exactamente cero, la respuesta cambia. Por ejemplo:

[matemática] 0 ^ + \ times + \ infty \ to (0, \ infty) [/ math], que es indeterminado.

Infinito no es un número. Es un concepto, el de ilimitado. No podemos multiplicar un número por algo que no sea uno de ninguna manera.
Con todas las debidas consideraciones, debo estar en desacuerdo con el Sr. Sane aquí, aunque estoy seguro de que quería decir algo más: el infinito no es un número irracional ya que, como él mismo señala, el infinito no es un número. Los números irracionales son entidades matemáticas bien definidas. Son números reales que no se pueden expresar como un cociente de dos números reales, como Pi o la raíz cuadrada de 2.

Hay dos cosas a considerar aquí:

1. Si te refieres al número real 0 multiplicado por un “número” infinito, entonces me temo que no está definido. Infinito no es un número, en el sentido de que no está incluido en el conjunto de reales. Hay otras estructuras donde el infinito se considera un número en lugar de solo un símbolo, pero no estoy lo suficientemente calificado como para hablar de ellos.
2. Si te refieres a dos números, uno cercano a 0 y otro infinito, entonces es una forma indeterminada. Por supuesto, estamos hablando de límites. Compruébelo usted mismo [matemáticas] lim_ {x \ to0} (x \ frac {1} {x}) [/ matemáticas] claramente no es 0. Es [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

El infinito multiplicado por cero no está definido. Es una de las 7 formas indeterminadas en los límites. Se puede argumentar que cualquier cosa multiplicada por cero es cero o que cualquier cosa multiplicada por infinito es infinito, pero no hay forma de establecer la precedencia de uno sobre el otro.
También puede considerarse que el cero se divide por cero (el infinito se transfiere al denominador donde es igual a cero) o el infinito se divide por el infinito (el cero se desplaza al denominador donde es igual al infinito). Ambos son límites indeterminados.

Por lo tanto, se ha puesto en la categoría ‘indefinido’.

Para una mayor comprensión, ver: forma indeterminada

Mi respuesta puede no ser perfecta. Puede que no sea el mejor.
Pero por simplicidad, supongamos que la división por cero está definida.
Creo que es bien sabido que x / 0 = infinito, donde x no es igual a cero.
Entonces, 0 * infinito, toma la forma 0 * x / 0.
Como ya mencioné, podemos dividir por cero.
Cero y cero se anulan entre sí (en realidad no funciona en matemáticas reales), y te quedan algunos no. X.
Por lo tanto, 0 * infinito puede ser cualquier no. y por lo tanto no está definido.

Nota:
Soy perfectamente consciente de las fallas de mi solución.
Pero así es como planeo explicar en un nivel elemental.

Es 0.
Hubiera sido indefinido si fuera (0 acercándose) * (infinito)
Pero como es 0 * infinito y cualquier cosa * 0 es 0, por lo tanto, la respuesta es 0.

Editar: he pasado por este enlace
http://math.stackexchange.com/a/ …

Dice que
(EXACTO 0) * infinito = 0
Pero si es una forma intermedia, entonces no está definida, es decir,
(0 TENDS) * infinito = indefinido

Las preguntas no aclaran si se aproxima exactamente 0 o 0, por lo que la respuesta dependerá de eso.

Se puede definir, relativamente
“0 x infinito” puede interpretarse como que no agrega nada, infinitamente muchas veces. A partir de esto, la respuesta debe ser cero.
ahora, volteando el infinito y o alrededor de x.
“infinito x o”, ¿cómo puedes agregar algo a todo? (aunque 0 no es nada). Debido a que todas las cosas que podrías haber agregado ya están constituidas por todo, la respuesta debe ser infinita.

¿Por qué esta expresión no se puede definir, matemáticamente?
Como las dos interpretaciones no coincidían con la propiedad conmutativa de la multiplicación, de ahí el ‘No definido’

espero tener razón

Las formas ∞ / ∞, ∞ * 0, 0/0, ∞ ^ 0 se llaman formas indeterminadas. Esto significa que dado que ∞ no es un número y la división por 0 no está permitida, solo aparecen en forma de límite.

No hace falta decir que no se pueden evaluar sin más información (por ejemplo, la función que tomó el límite para obtener la forma indeterminada).

En algunos conceptos más abstractos (como la teoría de la medida), definimos _ * 0 = 0, pero tenemos que hacer esto antes de formar las matemáticas a su alrededor, para que esta igualdad no se mantenga en todas partes.

En general, no podemos responder a la pregunta de a qué se evalúa ∞ * 0.
lim n-> ∞ (n * sin (1 / n))
= lim n-> 0 sin (n) / n
= 1

lim n-> ∞ ln (n / (n + 1))
= lim n-> ∞ ln (1 / (1 + 1 / n))
[y como 1 / n va a 0,]
= ln (1 / (1 + 0))
= ln (1)
= 0

Ayuda de cálculo

Para evitar todas las funciones complicadas y demás, realmente se reduce a la misma razón por la que x / 0 no produce un resultado: cualquier resultado que usted diga le permitirá probar que 1 = 2 o alguna otra tontería, o violará una ley como infinito por cualquier cosa igual a infinito, o 0 por cualquier cosa igual a 0. Es una paradoja en el sentido más verdadero de la palabra, sin un posible dispositivo de rescate.

Si un ‘límite’ tiene la forma 0 * INF, entonces se puede encontrar usando la regla LH (por supuesto, no es la única forma de encontrarlo). En caso de límite, la respuesta puede ser cualquier número real o + o – INF. por ejemplo,

[matemáticas] lim (x \ rightarrow 0) sin (x) / x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] lim (x \ rightarrow 0) sin (x) / x ^ 2 = \ infty [/ math]

[matemáticas] lim (x \ rightarrow 0) sin ^ 2 (x) / x = 0 [/ matemáticas]

como [math] x \ rightarrow 0 [/ math], sin (x) y [math] \ sin {^ 2} x [/ math] se acercará a 0 pero [math] \ dfrac {1} {x} [/ math ] y [math] \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ math] se acercará a [math] \ infty [/ math]. Dando a toda la expresión anterior la forma de [math] 0 * \ infty [/ math].

ve que un límite puede ser 0, distinto de cero o [math] \ infty [/ math]. pero el límite no es el valor real de [math] 0 * \ infty [/ math], porque las funciones sin (x), 1 / x, etc. solo se acercan a 0 y [math] \ infty [/ math] pero son en realidad no es 0 o [math] \ infty [/ math].

ahora, ¿cuál es el valor real de [matemáticas] 0 * \ infty [/ matemáticas]? no hay un valor real de [math] 0 * \ infty [/ math], no está definido. Pero para el uso más práctico, Limits hace el trabajo.

Es un caso típico. Simplemente si queremos explicar que hay un concepto hermoso para el infinito. Considere que el océano es como un infinito, no tiene límites. Si eliminamos o agregamos un poco de agua, no afectará al océano. Al igual que el infinito oceánico no tiene ningún límite, incluso si lo multiplicamos con cualquier número como 1,2,3, …… no afectará el valor del infinito, aún es tan vasto como antes

[matemática] 0 \ veces \ infty [/ matemática] no es [matemática] 0 + 0 +… + 0 [/ matemática] (algún número discreto de términos), es [matemática] 0 + 0 +… [/ matemática] (un número infinito de términos). Nunca llegará al final de esa secuencia de términos, por lo que no se compila.