Cómo demostrar por contradicción que para cualquier número real r, si [math] r ^ 2 [/ math] es irracional, entonces r es irracional

Si [math] r [/ math] es racional, entonces [math] r ^ 2 [/ math] es racional, ya que [math] \ mathbb {Q} [/ math] es un campo, es decir, cerrado por multiplicación. Por lo tanto, por contraposición (no necesita una contradicción aquí, es una reformulación lógica directa, su declaración sigue.

Si r es racional, debe haber una manera de mostrarlo como una fracción, que llamaremos [math] \ frac {a} {b} [/ math]. Sin embargo, [math] \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ 2 [/ math] es igual a [math] \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ math]. Como [math] r ^ 2 [/ math] es irracional, no debería ser posible mostrarlo como una fracción. Sin embargo, si [matemática] r = \ frac {a} {b} [/ matemática], [matemática] \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ matemática] debe ser igual a [matemática] r ^ 2 [/matemáticas]. Sin embargo, [math] r ^ 2 [/ math] no se puede expresar como una fracción si es irracional. Esto significa que para que [matemática] r ^ 2 [/ matemática] sea irracional, r DEBE ser irracional.

Suponga que hay algún número racional [matemática] r [/ matemática] tal que [matemática] r ^ 2 [/ matemática] es irracional. Esto significa [matemática] r = \ frac {p} {q} [/ matemática] donde [matemática] p, \, q \ in \ mathbb {Z} [/ matemática], entonces [matemática] r ^ 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} [/ math], y dado que [math] p ^ 2 [/ math] y [math] q ^ 2 [/ math] son ​​enteros, [math] r ^ 2 [/ math ] es racional, una contradicción, por lo tanto es cierto.

Reescribamos este reclamo de una manera más fácil :
“¿Cómo pruebo que si n es irracional, [math] \ sqrt {n} [/ math] también es irracional? “

Primero, recordaremos lo que significa ser irracional.
Un número es irracional si es real pero no se puede escribir como la razón de dos enteros.
O, en un lenguaje más matemático: [matemáticas] k \ in \ mathbb {I} \ Leftrightarrow k \ in \ mathbb {R} \ wedge \ forall a, b \ in \ mathbb {Z}, k \ neq \ frac { a} {b} [/ matemáticas].

El primer paso es asumir que hay una [matemática] n [/ matemática] irracional tal que [matemática] \ sqrt (n) [/ matemática] es racional. Entonces sabemos que [math] \ sqrt {n} = \ frac {a} {b} [/ math] donde [math] a, b \ in \ mathbb {Z} [/ math].
Si eso es cierto, entonces [matemáticas] (\ sqrt {n}) ^ {2} = n = (\ frac {a} {b}) ^ {2} = \ frac {a ^ {2}} {b ^ { 2}} [/ math] pero, si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​enteros, entonces [math] a ^ {2} [/ math] y [math] b ^ { 2} [/ math] también lo son. Lo que significaría que [math] n [/ math] es una relación de dos enteros y, por lo tanto, racional.
Sin embargo, esa conclusión contradice nuestra suposición inicial. Lo que significa que uno de ellos está equivocado y, dado que sabemos que nuestra conclusión es correcta, nuestra suposición inicial debe estar equivocada.
QED

PD: si tiene problemas para entender nuestra reescritura de reclamo, configure [math] n = r ^ {2} [/ math] y vuelva a hacer la prueba.

Sea P = “r racional” y Q = “r ^ 2 racional”.

Utilice modus tollens, que dice que P → Q y ~ Q implica ~ P.

1. P → Q: bastante trivial, ya que r ^ 2 (= n ^ 2 / m ^ 2) es claramente racional si r (= n / m) es racional.
2. ~ P: esa fue nuestra suposición, es decir, r ^ 2 es irracional.

Entonces, podemos inferir ~ P, es decir, que r es irracional.

Por contradicción. Suponga que r es racional. r = p / q. Entonces r ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2, que es racional porque p ^ 2 y q ^ 2 son enteros.

Supongamos que r es un número racional, entonces r ^ 2 también debería ser un número racional, pero como no es racional, r no puede ser racional