¿Por qué es importante la teoría de conjuntos?

La teoría de conjuntos es importante porque es una teoría de enteros, modelos de sistemas de axiomas, ordinales infinitos y números reales, todo en una estructura unificada. Esto le permite servir como base para todas las matemáticas, cualquier cosa de la que hable en matemáticas puede formalizarse en la teoría de conjuntos de forma natural y fácil, y estudiar la teoría de conjuntos le permite probar teoremas sobre las matemáticas en sí. La formulación de la teoría de conjuntos a fines del siglo XIX motivó la metamatemática del siglo XX, con todos los sorprendentes resultados sobre la demostrabilidad.

Es un tema extremadamente importante, y no voy a hacerle justicia en esta respuesta. Recomendaría leer el libro de Paul Cohen “La teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo”, junto con algunos trabajos históricos de finales del siglo XIX o principios del siglo XX, como Frege y Cantor, para ver de dónde provienen las ideas y más trabajo de autores más recientes, como Saharon Shelah, quien es un gran nombre con grandes teoremas y grandes libros.

Daré una respuesta que se centre en las tres primeras cosas, enteros, ordinales y modelos, porque personalmente creo que es bueno separar conceptualmente los números reales, tal como se describen en la teoría de conjuntos. Los números reales son importantes para las matemáticas habituales del día a día, pero en la teoría de conjuntos, pueden ser un dolor de cabeza, porque son un tipo de infinito diferente al de los enteros, ordinales y modelos lógicos.

La idea de la teoría de conjuntos es convertir las predicciones lógicas, como “x es menor que 100 yx es mayor que 1”, en objetos que pueden ser manipulados por buenas reglas formales. Los objetos se consideran la colección de cosas que obedecen las condiciones de los predicados, como la colección de enteros (o números reales) entre 1 y 100. Pero estas colecciones no se consideran tan explícitamente enumeradas como una lista, solo como un colección abstracta en tu mente, algo en lo que piensas.

Los conjuntos finitos reproducen aritmética, son solo otra forma de hablar sobre estructuras finitas, como cualquier cosa en su computadora. Cualquier estructura finita en una computadora puede codificarse como un conjunto, utilizando una codificación, como unicode, para representar objetos arbitrariamente sofisticados como enteros. Puede representar un entero como un conjunto utilizando una codificación estándar, de modo que 0 es el conjunto vacío, y después de haber construido los enteros 0 a k, construye k + 1 como el conjunto {0,1, … k}.

Los axiomas para construir conjuntos le permiten convertir un predicado en un conjunto, pero debe tener cuidado: el predicado “X no se contiene a sí mismo” no puede convertirse en un conjunto diciendo “El conjunto de todas las X de tal manera que X sí no contiene X “, porque esta es la paradoja de Russell. Los predicados solo pueden restringir conjuntos que ya ha construido de alguna otra manera, por ejemplo, “El conjunto de todas las X dentro de los números reales que no contienen X” (esta es otra versión del conjunto vacío; el conjunto no se contiene a sí mismo en el teoría de conjuntos habitual: esta es una consecuencia de uno de los axiomas). Por lo tanto, debe describir cuidadosamente cómo construir conjuntos y cómo separar partes de conjuntos utilizando predicados.

En la teoría de conjuntos moderna, construyes conjuntos infinitos usando axiomas, los axiomas de infinito, uniones y conjuntos de potencia, y cortas usando los axiomas de separación y reemplazo. El axioma de separación es el axioma predicado: dice que cada subconjunto de elementos de un conjunto que obedece a un predicado dado es también un conjunto. El axioma de reemplazo subsume el axioma de separación (puede probar la separación del reemplazo mediante un simple truco). Es lo que Frenkel agregó a la teoría de Zermelo.

Lo bueno de la teoría de conjuntos es que es una forma natural de hacer modelos para sistemas axiomáticos. Un modelo de conjunto es una colección donde cada teorema del sistema axiomático se refiere a algún conjunto, y cada relación se refiere a algún conjunto que codifica los conjuntos que satisfacen la relación.

Una vez que tiene la incrustación Von Neumann de los enteros, tiene el axioma del infinito. Esto afirma que el conjunto de todos los enteros es en sí mismo un conjunto. Con este axioma, la teoría de conjuntos se convierte en un nuevo campo, ¡porque de repente tienes un modelo para la aritmética! Este modelo le permite probar que la aritmética es consistente, ya que cualquier teoría con un modelo es consistente, por lo que los axiomas de la teoría de conjuntos, más el axioma del infinito, le permiten probar que la aritmética no contiene una contradicción. Entonces, los axiomas de aspecto muy inocuo de repente demuestran teoremas de aspecto muy sofisticados: aprendes que los axiomas del Arithemático de Peano no alcanzan una contradicción a medida que calculas las consecuencias, simplemente por la afirmación de que el conjunto de enteros existe dentro de la teoría de conjuntos.

La estructura de las teorías matemáticas se aclara con el concepto de los ordinales. Define el conjunto de todos los enteros como el omega ordinal infinito más pequeño, y luego puede definir iteraciones de contar omega pasado, definiendo omega plus 1 como el conjunto de todos los enteros y omega también, omega plus 2 es el conjunto omega plus 1 sumando el set omega plus 1 como un nuevo elemento adicional, y así sucesivamente. Un truco para visualizar ordinales es verlos como una secuencia ordenada de puntos en una línea, que puede acumularse al subir, pero no puede acumularse al bajar, para que puedan alcanzar un límite a medida que avanza hacia la izquierda, pero si siempre avanza hacia la bien, siempre llega a cero después de un número finito de pasos.

Las secuencias ordinales son lo más importante en la teoría de conjuntos. Cada ordinal es un objeto matemático que define un tipo diferente de lista infinita. Tienes una noción de inducción transfinita, una generalización de la idea de la inducción matemática a los ordinales, porque cuando una afirmación es verdadera para 0, y cuando es verdadera para todos los ordinales menores que X, es verdadera para X, entonces es cierto para todos los ordinales.

Los ordinales definen lo que significa iterar algo más que infinitas veces. Por ejemplo, desde el teorema de Godel, sabes que toda teoría axiomática tiene un teorema que no puede probar, es decir, su consistencia. Entonces puede definir la teoría “más uno” como la teoría más el axioma de su consistencia. Entonces la teoría más 2 es la teoría más 1, más 1. Puede definir la teoría más k para todos los enteros k, y luego la teoría más omega es la unión de todas las afirmaciones probadas por todas estas teorías. Los ordinales le permiten hablar acerca de iteraciones infinitas que suben sin límite.

Lo último en la teoría de conjuntos es el axioma del conjunto de potencia y los números reales. Este axioma afirma que el conjunto de todos los subconjuntos de cualquier conjunto dado es en sí mismo un conjunto. Este axioma abandona el ámbito de lo contable y crea innumerables conjuntos de cardinalidades cada vez más grandes. Fue este axioma el que popularizó la teoría de conjuntos de Cantor, porque quedó claro de inmediato que puede proporcionar pruebas fáciles de ciertas afirmaciones previamente difíciles. Por ejemplo: demuestre que existe un número trascendental. No probem! Los números algebraicos son contables, los reales no lo son.

El axioma de powerset le permite aumentar infinitos conjuntos utilizando un tipo diferente de iteración que el esquema ordinal, intensifica a pasos agigantados. El primer salto construye el conjunto de números reales como el conjunto de todos los subconjuntos de enteros (más o menos). El resultado es que puede hacer un modelo para la teoría de conjuntos sin conjunto de potencia, esta es la colección de todos los conjuntos contables, y la existencia de este modelo demuestra que la teoría de conjuntos sin conjunto de potencia es coherente. De modo que powerset produce modelos más fuertes, al igual que el axioma del infinito.

La razón por la cual este axioma es problemático (aunque no inconsistente) es que produce inmediatamente innumerables ordinales, y entra en conflicto conceptual con el teorema de Skolem. Skolem señaló que toda teoría normal tiene un modelo contable, solo por la forma en que funcionan las declaraciones lógicas, las declaraciones lógicas que puede escribir son contables. Entonces, aquí hay un axioma que afirma la existencia de un conjunto incontable, pero un modelo de teoría con este axioma será equivalente a un modelo contable.

Entonces, este axioma está produciendo conjuntos que no reflejan con mucha precisión su estructura en los modelos más simples del axioma. Crea un conflicto entre la intuición con respecto al conjunto descrito y los modelos y ordinales que describen los modelos. Todos los ordinales en un modelo teórico de conjunto razonable son contables, los modelos son estructuras contables. ¡Sin embargo, el axioma del conjunto de poderes garantiza que estos modelos contables tienen delirios de grandeza y hablan de conjuntos incontables como si contuvieran alguno! Los conjuntos que consideran incontables, los ordinales que identifican como incontables, en los modelos contables son contables, pero carecen de un mapa explícito en el modelo para revelar su contabilidad. Este es un punto sutil, y es importante para futuros desarrollos.

Este negocio de skolem se vuelve más severo cuando considera el forzamiento teórico establecido. La noción de forzar le permite ajustar las propiedades de conjuntos incontables, utilizando la libertad que proviene del hecho de que los conjuntos incontables se describen de manera falsa, dentro de modelos contables. Tiene infinitas opciones para los dígitos de los números reales, pero el sistema axiom solo impone muchas condiciones contables. Esto le permite hacer números reales “genéricos” que no tienen propiedades especiales en relación con el modelo contable anterior, que son como si fueran seleccionados al azar.

La inclusión de powerset le permite hablar sobre números reales arbitrarios y conjuntos de números reales, y esto es útil para el trabajo matemático diario. El resultado seguramente no es inconsistente, porque el axioma del conjunto de potencias, cuando la hipótesis del continuo generalizado es verdadera, solo aumenta una unidad en cardinalidad cada vez que la usa, por lo que está produciendo conjuntos bastante pequeños. Pero el forzamiento muestra que la operación real del conjunto de potencia es realmente algo enorme, de modo que incluso los números reales pueden mapearse en un ordinal tan grande como desee, incluso más grande que todo su universo actual cuando se considera como un ordinal.

Este desajuste es lo que está causando problemas en la intuición. Los problemas solo pueden resolverse no tomando demasiado en serio el conjunto de potencia, considerando que el conjunto de potencia está haciendo una caricatura de los números reales. Los números reales “verdaderos” se imaginan mejor teniendo la propiedad de mensurabilidad, por lo que elegir un número real al azar entre 0 y 1 tiene sentido como concepto. Esto es incompatible con el axioma de elección en los reales, por lo que no es un axioma popular, pero las personas actúan como si esta afirmación fuera cierta de todos modos, dibujando imágenes de cosas continuas típicas elegidas al azar como si el concepto tuviera sentido en la teoría de conjuntos.

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