El único entero no positivo al que una calculadora debería ser capaz de asignar un factorial es 0. [matemática] 0! = 1 [/ matemática], más o menos por definición. Esta definición es conveniente, ya que hace que muchas fórmulas, como la serie Taylor y la expansión binomial, sean más fáciles de escribir.
Esta definición también es buena porque concuerda con la función gamma. La función gamma [matemática] \ Gamma (s) [/ matemática] se define como
[matemáticas] \ Gamma (s) = \ int_0 ^ \ infty t ^ se ^ {- t} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]
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¡Se puede verificar que para cualquier número entero positivo [matemática] n [/ matemática], [matemática] \ Gamma (n) = (n – 1)! [/ math]: suponiendo, por supuesto, que hemos definido [math] 0! = 1 [/ matemáticas]. La forma más fácil de demostrar esto es mostrar que [math] s \ Gamma (s) = \ Gamma (s + 1) [/ math].
En resumen, la función gamma es una extensión natural de la función factorial. Entonces, cuando la gente escribe algo como [matemáticas] (1/2)! [/ math], lo que realmente quieren decir es [math] \ Gamma (3/2) [/ math]. (Que es [matemáticas] \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas], si tiene curiosidad).
Aquí está la cosa, sin embargo. La función gamma tiene un polo (es decir, explota hasta el infinito) para [math] s = 0, -1, -2, -3, \ ldots [/ math].
De hecho, puede ver que este debe ser el caso. Por la ecuación funcional, deberíamos tener [matemáticas] 0 \ Gamma (0) = \ Gamma (1) = 1 [/ matemáticas]. Por supuesto, esto no puede ser cierto en ningún sentido a menos que [math] \ Gamma [/ math] como un polo simple en [math] s = 0 [/ math]. Usando eso, es bastante fácil demostrar que en realidad también tiene polos simples en todos los enteros negativos.
