¿Qué es la “Medida de Haar” en términos simples?

La palabra medida es la habitual en matemáticas. Tienes algo de espacio ambiental y la medida te permite medir el tamaño de sus subconjuntos.

Ejemplos típicos de tales medidas son longitud de subconjuntos de una línea, áreas de subconjuntos del plano, volumen de subconjuntos de espacio, etc.

Sin embargo, las medidas no tienen que ser tan uniformes como longitudes, áreas o volúmenes. Algunas regiones del espacio ambiental pueden tener medidas más grandes que otras. Por ejemplo, si mide un intervalo [ a, b ] de la línea utilizando una integral como [math] \ displaystyle \ int_a ^ bx ^ 2 \, dx, [/ math], los intervalos lejos del origen tendrán grandes medidas, pero los de igual longitud cerca del origen tendrán pequeñas medidas.

Las medidas de Haar serán uniformes, pero no están definidas para todos los espacios. Necesita un concepto de lo que significa uniforme antes de que pueda preguntar si una medida es uniforme.

Algunos espacios son grupos. Tienen una operación binaria (a veces escrita de forma aditiva, a veces de forma multiplicativa) que es asociativa, tiene una identidad 1 y hay un inverso para cada elemento. La conmutatividad no es necesaria, pero cuando el grupo es conmutativo, se llama grupo abeliano.

La línea [math] \ mathbb R, [/ math] el plano [math] \ mathbb R ^ 2, [/ math] y el espacio [math] \ mathbb R ^ 3, [/ math] son ​​todos los grupos abelianos que se suman. Los conceptos habituales de medida (longitud, área y volumen) son invariables bajo esta medida. Para [math] \ mathbb R [/ math] eso significa que la longitud de un intervalo [ a, b ] no cambia si lo traduce por suma, por lo que el intervalo [ a + c, b + c ] tiene el mismo longitud como [ a, b ], es decir, b – a . Esa medida mencionada anteriormente, [math] \ displaystyle \ int_a ^ bx ^ 2 \, dx, [/ math] no es invariable bajo traducción.

Por lo tanto, cuando tiene una estructura de grupo en su espacio, puede preguntar si una medida es uniforme.

La medida de Haar será una medida uniforme en un grupo, pero no cualquier grupo, porque se supone que una medida de Haar tiene algún tipo de propiedad de unicidad, y sin saber más sobre el grupo, no obtendrá eso.

La línea [math] \ mathbb R [/ math] tiene muchas medidas uniformes diferentes. Una de ellas es la medida estándar, la duración de un intervalo. Pero puede derivar muchas otras medidas uniformes de eso solo con la escala. La mitad de la longitud de un intervalo también es una medida uniforme. Hay algo especial en la línea real que puede usar para mostrar que todas las medidas son las mismas hasta este factor constante debido a la escala. Esa es su topología.

La medida de Haar es esa medida uniforme, única hasta un factor constante, que existe para cualquier grupo topológico localmente compacto. Para la línea, es longitud; para el avión, es área; por espacio, es volumen.

La condición de ser un localmente compacto es la que le permite hacer un análisis suficiente para definir una medida y mostrar que es única hasta un factor constante.

Algunos otros grupos topológicos localmente compactos incluyen el círculo [matemáticas] S ^ 1 [/ matemáticas] y las 3 esferas [matemáticas] S ^ 3. [/ Matemáticas] (Pero no la esfera 2. Es una quandle topológica localmente compacta, y eso es realmente lo suficientemente bueno como para superar la prueba de Haar.) Además, el cilindro [matemático] S ^ 1 \ veces \ mathbb R [/ matemático] y cualquier otro producto de grupos topológicos localmente compactos. También hay muchos ejemplos exóticos.