Asumiré [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas], y usaré
[matemáticas] C (2n, n) [/ matemáticas] = [matemáticas] {2n \ elegir n} = \ dfrac {(2n)!} {(n!) ^ 2} = \ dfrac {(2n) (2n- 1) (2n-2) \ cdots (n + 1)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots n} [/ math].
Para obtener el límite inferior , tenga en cuenta que el primer factor en el producto es igual a [matemática] 2 [/ matemática] mientras que cada factor subsiguiente en el producto
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[matemáticas] {2n \ elegir n} = \ dfrac {2n} {n} \ cdot \ dfrac {2n-1} {n-1} \ cdot \ dfrac {2n-2} {n-2} \ cdots \ dfrac {n + 1} {1} [/ matemáticas]
excede [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Más formalmente, [math] \ frac {2n-k} {nk}> 2 [/ math] para [math] k \ in \ {1,2,3, \ ldots, n-1 \} [/ math]. Como hay factores [matemáticos] n [/ matemáticos], tenemos el límite inferior de [matemáticos] 2 ^ n [/ matemáticos].
Para obtener el límite superior , use
[matemáticas] {2n \ elegir n} = \ dfrac {(2n)!} {(n!) ^ 2} = \ dfrac {(2n) (2n-2) (2n-4) \ cdots 2} {n ( n-1) (n-2) \ cdots 1} \ cdot \ dfrac {(2n-1) (2n-3) (2n-5) \ cdots 1} {n!} [/ math]
[matemáticas] <\ dfrac {(2n) (2n-2) (2n-4) \ cdots 2} {n (n-1) (n-2) \ cdots 1} \ cdot \ dfrac {(2n) (2n -2) (2n-4) \ cdots 2} {n (n-1) (n-2) \ cdots 1} [/ matemática]
[matemáticas] = 2 ^ n \ cdot 2 ^ n [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
