¿Qué tan bueno es nuestro entendimiento sobre infinitesimal, su progreso todavía se basa en una suposición no probada?
Hasta donde yo sé, el cálculo no necesita infinitesimales. Todo lo que necesita es la idea de un límite, lo que significa que podemos hacer mejores y mejores aproximaciones, y que podemos hacer que el error de tales aproximaciones sea tan pequeño como queramos.
Sin embargo, los infinitesimales se pueden definir rigurosamente. Los números reales forman un campo. Esa es una estructura abstracta con dos operaciones que se comportan de la forma en que está acostumbrado al comportamiento de suma y multiplicación (leyes conmutativas, asociativas, distributivas, etc.) y, a excepción de cero, cada elemento tiene un inverso multiplicativo. Además, el campo está ordenado y completo (las secuencias crecientes limitadas tienden a un límite). Eso es suficiente para tener una estructura isomorfa a los números reales.
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Los infinitesimales se pueden definir extendiendo este sistema. Si inventamos un elemento arbitrario y declaramos que es positivo pero menor que cada número real estándar positivo, y si todavía queremos un campo ordenado, entonces tenemos que sumar todos los múltiplos reales de nuestro nuevo número y sus inversos (que se convierten números infinitos) y la suma de estos números no estándar y números reales. Las sumas finitas son infinitamente cercanas a los números estándar. (Y más elementos también).
El sistema resultante ya no estará completo, y no estará ordenado por Arquímedes, es decir, una suma finita de números positivos no necesita ser arbitrariamente grande; puede agregar tantos infinitesimales como desee, pero la suma nunca excederá 1.
Abraham Robinson hizo esto rigurosamente usando la teoría de modelos. No creo que se necesiten supuestos más allá de las leyes de la lógica. No hay nada que le impida inventar un nuevo símbolo y definir su relación con otros símbolos abstractos. (A menos que insista en que debemos definir cada número no estándar en lugar de solo declarar que existe. Pero si insiste en que los números reales también se vuelven esquivos, solo hay un número contable de símbolos disponibles).
Por otro lado, como traté de expresar en mi primer párrafo, cualquier cosa que necesite en cálculo, al menos en relación con la discusión del mundo tangible real, el cálculo ordinario es suficiente. De hecho, el cálculo va demasiado lejos: el mundo real está hecho de átomos y los incrementos más pequeños que un átomo dejan de ser útiles para los objetos macroscópicos. (Comentarios similares probablemente se aplican a los objetos subatómicos, aunque no sabemos si el espacio y el tiempo son continuos o discretos).
