Se dice que un conjunto [matemática] X [/ matemática] es finito si y solo si hay una biyección [matemática] f: X \ to \ {i \ in \ mathbb {N}: 1 \ leq i \ leq n \ } [/ math] para algunos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math], o de lo contrario es infinito.
Por ejemplo, los conjuntos [math] \ emptyset [/ math], [math] \ {3,4 \} [/ math], [math] \ {i \ in \ mathbb {N}: 10 \ leq i \ leq 10 ^ {300} \} [/ math] son conjuntos finitos.
Se dice que un conjunto infinito [math] X [/ math] es infinitamente contable si y solo si hay una biyección [math] f: X \ to \ mathbb {N} [/ math] de [math] X [/ math ] y [math] \ mathbb {N} [/ math].
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El conjunto de números pares denotados por [math] \ {i \ in \ mathbb {N}: i = 2n \ text {para algunos} [/ math] [math] n \ in \ mathbb {N} \} [/ math ], los enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math], los racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math] tienen la misma cardinalidad que el conjunto de naturales [math] \ mathbb {N} [ / math] y por lo tanto son contables.
Se dice que un conjunto infinito [matemática] X [/ matemática] es incontable si y solo si no es contable.
El conjunto de reales [math] \ mathbb {R} [/ math], el conjunto [math] \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 \ leq x \ leq 1 \} [/ math] son incontables.
Un conjunto [math] X [/ math] es como máximo contable si y solo si es finito o infinitamente contable.
Por ejemplo, los conjuntos [matemática] X: = \ conjunto vacío [/ matemática], [matemática] Y: = \ {3,4,5 \} [/ matemática], [matemática] \ mathbb {N} [/ matemática] , [math] \ mathbb {Z} [/ math], [math] \ mathbb {Q} [/ math] son como máximo contables.
