¿Por qué apenas se conoce el orden de las operaciones en matemáticas?

[Editado para mayor claridad en respuesta a los comentarios]

Considero que la pregunta original es una pregunta sobre psicología, no sobre matemáticas, y mi respuesta aborda la pregunta psicológica.

Desde un punto de vista cognitivo, el orden de las operaciones es poco conocido debido a dos factores que interactúan: 1) aunque desde un punto de vista matemático el orden de las operaciones es racional y basado en principios, al observador casual que no conoce la teoría matemática le parece arbitrario (porque, de hecho, la forma en que representamos las expresiones matemáticas simbólicamente es algo arbitraria) y 2) muchas personas no tienen motivos para utilizar el orden de las operaciones con mucha frecuencia. Muchas personas simplemente memorizaron el orden de las operaciones al mismo tiempo (usando un acrónimo como “PEMDAS” para Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Suma, Resta) sin comprender realmente la base de ese orden. Y la memoria humana para cosas que parecen arbitrarias y que no se usan, que a menudo se descompone rápidamente de forma natural.

Puedes ver esto en verbos irregulares. Solía ​​haber muchos más en inglés antiguo. En inglés moderno, los únicos verbos irregulares que sobrevivieron son los de alta frecuencia, como am, is, are. Otros se regularizaron como cantar, cantar, cantar y beber, beber, beber.

Si las personas no entienden la base de principios para el orden de las operaciones (que incluye a muchas personas) y no actualizan ese conocimiento muy a menudo al aplicarlo, entonces en su memoria tiende a regularizarse ya sea que todo tenga igual precedencia o algo al azar e idiosincrásico.

El orden de las operaciones es ambiguo y sin sentido. Es solo una convención. Es como preguntar por qué alguien no recuerda cómo deletrear una palabra determinada, excepto que es una palabra que nadie usa o le importa.

Si resuelve su expresión a través del método más común, es 7.

Si lo resuelve evaluando las operaciones en estricto orden PEMDAS, es 5.

Si lo resuelve de izquierda a derecha, es 1.

Para empeorar las cosas, su fórmula está horriblemente compuesta. No hay espacio entre figuras y símbolos. Utiliza un guión (-) en lugar de un signo menos (-), usa una X minúscula (x) en lugar de un signo de multiplicación (×), y ni siquiera me hagas comenzar con ese obelus (÷) … es enorme y se movió hacia abajo. Entonces eso es solo pedir problemas. Por ejemplo, cuando lo vi por primera vez, mi cerebro quería realizar la división en último lugar, ya que el letrero era muy grande y desagradable.

En notación polaca inversa, esta expresión sería:

6 1 0 × – 2 2 ÷ +

En notación polaca normal, sería:

+ – 6 × 1 0 ÷ 2 2

Un matemático (o, mejor aún, un libro de texto de matemáticas) escribiría algo como:

[matemáticas] 6-1 (0) + \ frac {2} {2} [/ matemáticas]

Un programador puede escribir:

  (6 - (1 * 0)) + (2/2)

Entonces, como puede ver, las malas preguntas obtendrán malas respuestas.

Hace unos años, mi hijo perdió un punto en una prueba de matemáticas porque puso paréntesis que no eran necesarios debido al orden de las operaciones.

Podría decirse que la calificación estuvo bien dado el programa de estudios, pero en mi opinión, incluso enseñar el orden de las operaciones es malo y pernicioso.

La única forma correcta de manejar las matemáticas es poner siempre todos los paréntesis. Este es el por qué.

En matemáticas de sexto grado, el orden de las operaciones es bastante simple, multiplicar y dividir son “más fuertes” que la suma y la resta. Una vez que llega al resto de las matemáticas, y luego a los lenguajes de programación, la situación se vuelve imposible.

Odio citar wikipedia, pero este artículo es relevante.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ord …

Simplemente mire la página y sus ejemplos y piense en la impresión visual de gran complejidad.

Es más que peligroso enseñar estas cosas y esperar que la gente las recuerde . No recordarán los detalles, pero pensarán que lo saben . Ingenieros inteligentes y capaces escribirán expresiones, pensando que entienden lo que significan, y se equivocarán.

Hace unos años, estaba trabajando en una empresa de informática, y construimos un chip personalizado con unos 150 millones de transistores, como parte de una supercomputadora. La lógica se expresa en el lenguaje de programación VHDL, que, como muchos, tiene un orden definido de operaciones. Un ingeniero hizo algo bastante inocuo, confundiendo el orden de las operaciones de OR lógico y AND bit a bit, y en consecuencia la expresión matemática significaba algo bastante diferente de lo previsto. Esto fue atrapado por accidente, pero si hubiera pasado, el costo habría sido una máscara de chip de reemplazo de medio millón de dólares y unos 3 meses de calendario.

El orden de las operaciones es una idea pintoresca y fechada que realmente necesitamos dejar de enseñar y dejar de depender. Si siempre especifica exactamente lo que quiere decir al agrupar las operaciones con paréntesis, usted y la computadora siempre estarán de acuerdo sobre lo que significan las matemáticas. (Hablo aquí como ingeniero informático, no como matemático).

Esto también significa que poner entre paréntesis, incluso si no es necesario, es una buena idea, aclara el significado de la expresión sin ningún riesgo. Este tipo de cuidado debe ser aplaudido.

Algunos lenguajes de programación, como LISP, lo hacen bien: no permiten operaciones encadenadas en absoluto y no necesitan orden de operaciones. Por supuesto, ni siquiera usan operadores infijos. En LISP, uno dice (+ 3 4) o (+ (* 2 4) (* 5 6)) y nunca hay ninguna confusión al respecto.

Bueno, para completar el lado derecho: = + – 6 x 1 0/2 2 7, mientras que = / + x – 6 1 0 2 2 1. Esto como un desvío a través de la notación polaca.
Pero de todos modos.

El orden de las operaciones apenas se conoce porque es difícil y poco intuitivo. Sí, podría decir que solo necesita recordar seis operadores, pero no.

Mire, por ejemplo, este pequeño subconjunto de operadores definidos, es decir, el subconjunto que está disponible en C:

(Fuente: Precedencia del operador C )

Como puedes ver:

1. Es enorme
2. multiplicación antes de la suma antes del desplazamiento, que es un caso especial de multiplicación. Entonces la multiplicación viene antes de la multiplicación (¿carajo, C?)
3. Además, && y || No son intercambiables.
4. No me hagas hablar de asociatividad.

En el momento en que comiences a profundizar en matemáticas / programación más avanzadas, te darás cuenta de que el orden de las operaciones es horrible (dime, ¿qué viene primero: igualdad, implicación o equivalencia?), Y creo que las simples reglas de PEMDAS pueden ser igualmente horripilantes para aquellos que no están familiarizados con ellos.

Si hace ese cálculo en una calculadora, obtendrá una respuesta de 1. (La calculadora resta 1 de 6, multiplica el resultado por 0, suma 2 y luego divide por 2.)

Si le das ese cálculo a un estudiante técnico (matemáticas, física, ingeniería), primero hará las multiplicaciones y luego las sumas y restas. Entonces la respuesta que le darán es 6 – (1 x 0) + (2/2) = 7.

Estas son puramente convenciones, y lo que lo hace confuso es que una calculadora ordinaria no sigue la convención técnica. Sin embargo, en el trabajo técnico, las convenciones de “multiplicar y dividir primero, y luego sumar y restar” hacen una notación simplificada, una en la que a menudo podemos minimizar la escritura. Esa es la razón principal por la que lo usamos.

Hay un problema similar con el porcentaje. Supongamos que un candidato tiene el 10% de los votos, y luego aumenta su ventaja en un 10%. Qué significa eso? Podría significar que ahora tiene el 20% de los votos (10% + un 10% adicional) o podría significar que su porcentaje aumentó en un 10% del 10%, por lo que ahora es del 11%. Esta ambigüedad vuelve locos a muchos estudiantes. Es por eso que tanta gente “odia” trabajar con porcentajes.

Lo importante es que se trata de convenciones. Las calculadoras no están equivocadas cuando obtienen la respuesta de 1. Simplemente están asumiendo una convención diferente. Si está hablando con un físico, puede suponer que está usando la primera convención de multiplicación, no la convención de la calculadora.

En caso de duda, pregunte. Si está en un examen, y no puede preguntar, entonces suponga que es la primera convención de multiplicación, porque esa es la que las personas que escriben los exámenes piensan que es la correcta. Pero tenga en cuenta que estas son solo convenciones. Si hacer el cálculo en orden, la convención que le da una respuesta de 1, fue incorrecta, entonces casi todas las calculadoras de bolsillo se considerarían defectuosas.

Simplemente no confunda las convenciones con las matemáticas. Las convenciones son triviales, y vale la pena aprender a seguirlas, pero las convenciones no son matemáticas.

El orden de las operaciones se deriva del orden real de las operaciones mismas. Son intuitivos si piensas en ellos de la manera correcta. Las operaciones tienen un significado fundamental que les da orden y funcionalidad. Están relacionados y NO son arbitrarios. En definitiva, todos son taquigrafía.

Mirad:

Las matemáticas, en su nivel más básico, solo cuentan .

Sumar y restar son abreviaturas para contar. En lugar de contar por cuenta propia, ahora puede contar en cualquier dirección y por cualquier cantidad.

La multiplicación y la división son abreviaturas para sumar y restar. En lugar de escribir 5 + 5 + 5 + 5, puedes escribir 5 * 4.

Los exponentes y las raíces son abreviaturas de multiplicación y división. En lugar de 5 * 5 * 5 * 5, puedes escribir 5 ^ 4.

Los paréntesis sirven para separar y mostrar prioridad a una operación en la notación.

Las funciones, finalmente, son más importantes, ya que combinan un montón de operaciones en una sola cosa.

La razón por la que se conoce tan escasamente es que los maestros que imparten la orden a sus alumnos en realidad no entienden por qué la orden en sí misma es importante y la enseñan como memorización de memoria 🙁 . Esto es lamentable. Y esto es un gran problema porque esto deja a muchos de ellos pensando que el orden es arbitrario, cuando en realidad es riguroso, rígido y tiene mucho sentido, porque las operaciones más altas siempre se pueden dividir en sumas y restas simples, y si es necesario, todo el camino hasta el conteo. El punto es que contar es tedioso, y tenemos esta hermosa taquigrafía que lo hace más fácil y rápido.

Finalmente, hay un último punto, el más importante sobre el orden de las operaciones: todos los que sigan las mismas reglas evaluarán una expresión de la misma manera.

Editar: solo un comentario rápido sobre otras personas que mencionan que el orden no es intrínseco y rígido, citando ejemplos como calculadoras, computadoras y otros sistemas matemáticos: esas son diferencias en el orden de entrada pero las operaciones en sí conservan el mismo significado que he descrito encima.

El “orden de operaciones” no tiene nada que ver con las matemáticas convencionales. Un matemático nunca escribiría una expresión como

[matemáticas] 6 – 1 \ veces 0 + 2 \ div 2 =? [/ matemáticas]

En cambio, escribiría

[matemáticas] 6 + (- 1) 0 + \ frac {2} {2} [/ matemáticas]

en el que no hay ambigüedad de todos modos, siempre que sepa que la convención es tal que los polinomios se pueden escribir sin paréntesis.

En cambio, el “orden de operaciones” se aplica a la entrada de la computadora, por ejemplo, en un lenguaje de programación o una calculadora de mano elegante, donde la máquina necesita un método inequívoco para interpretar una entrada como

6 – 1 * 0 + 2/2

para obtener una respuesta Es bueno saberlo, pero no es súper importante. Si alguien tiene que pensar realmente en el orden de las operaciones para leer su código, está haciendo un mal trabajo al escribirlo y necesita agregar algunos paréntesis más.

En estos días, la mayoría de las personas usan calculadoras para cada cálculo, pero a veces
¡Las calculadoras pueden salir mal!
Las calculadoras simples que solo tienen las operaciones básicas +, -, × y ÷ solo pueden realizar operaciones desde la izquierda en orden .

¡Si solo escribe 4 + 3 × 2 obtendría el resultado 14, que es la respuesta incorrecta!

Tendría que conocer BIDMAS usted mismo y presionar 3 × 2 primero y luego presionar + 4, que
da la respuesta correcta 10 .

(Si tiene una de estas calculadoras básicas, debe probar que lo hace).

Las calculadoras científicas modernas , como nuestras calculadoras gráficas, tienen BIDMAS integrado en su programación.

Cuando escribe 4 + 3 × 2, la calculadora espera hasta que presiona
“Es igual” y luego automáticamente hace el 3 × 2 primero.

Sin embargo, todavía salen mal en algunos casos.

Considera este problema:

lo que significa sumar 6 y 8 y luego dividir la respuesta por 4 + 3

Si solo escribe: 6 + 8 ÷ 4+ 3 obtendrá el 11, que es incorrecto
¡responder!

Esto se debe a que la calculadora ESTÁ haciendo el orden correcto de operaciones que usted
mecanografiado.

Ej. 6 + 8 ÷ 4 + 3

= 6 + 2 + 3

= 11

¡Debido a que las personas usan tanto las calculadoras, creen que la calculadora siempre tendrá la razón, por lo que no creen que tengan que preocuparse por las convenciones de “orden de operaciones”!

En realidad, el orden de las operaciones en matemáticas no es tan difícil como parece ser en la mayoría de los problemas.
Simplemente tiene que seguir alguna regla básica, luego puede resolver cualquier operación aritmética compleja, una de las cuales se proporciona anteriormente.
Regla 1 : ten en cuenta BODMAS

Regla 2 : La multiplicación y la división tienen la misma prioridad si ambas entraron en la misma operación.

Regla 3 : Sumar y Restar también tienen la misma prioridad si ambos vienen en la misma expresión.

Regla 4 : La multiplicación y la división tienen mayor prioridad que la suma y la resta.

Entonces, en resumen, las prioridades son
×> +;
÷> +;
×> -;
÷> -;
× = ÷;
+ = -;

Regla 5 : Si las mismas operaciones prioritarias se expresaron con la misma expresión, continúe haciendo esas operaciones de izquierda a derecha.

Regla 6 : Si los corchetes se expresaron, resuélvalos primero haciendo las operaciones dentro de los corchetes siguiendo las reglas anteriores.

Para la expresión anterior,

6-1 × 0 + 2 ÷ 2

Haremos 1 × 0 = 0 primero, porque es Multiplicación y está más a la izquierda de la expresión.
Entonces 2 ÷ 2 = 1,
Ahora la expresión se reduce a
6-0 + 1,
Así que ahora iremos de izquierda a derecha porque + y – tienen la misma prioridad.
Entonces 6-0 = 6 luego 6 + 1 = 7.
Entonces la respuesta final es “7”.

El llamado “orden de operaciones” no es fundamental para las matemáticas. Es solo una convención de notación, una que está demasiado estresada en la escuela en comparación con lo mucho que los matemáticos se preocupan por ella. No tiene nada que ver con los conceptos de suma, multiplicación, etc .; solo tiene que ver con cómo los escribimos. La única razón por la que surge es porque hemos elegido esta notación infija tonta para + y *, y una notación un poco menos tonta para exponenciación (donde el exponente está delimitado explícitamente pero la base no).

Con otras opciones de notación (notación polaca o notación polaca inversa o postfijo o prefijo delimitado explícitamente (como en el estilo f (a, b, c, …) estamos acostumbrados a otras funciones) o árboles de expresión directos innecesariamente linealizado, o …), no habría necesidad de preocuparse por la precedencia del operador. No sería un concepto que existiera en absoluto, porque no tiene nada que ver con las matemáticas … solo con las ambigüedades del sistema de notación en el que nos hemos asentado. Podemos imaginar fácilmente que otras culturas han desarrollado las matemáticas con una mejor notación desde el principio, de modo que no tendrían que preocuparse por el concepto de “orden de operaciones”.

Para ver la poca importancia que los matemáticos profesionales reales le dan al “orden de operaciones”, considere, por ejemplo, este divertido video que YouTube una vez me recomendó al azar para mi deleite (un clip del profesor de matemáticas de Berkeley, George Bergman, confrontado con algunas de esas imitaciones picayune- acertijo matemático que circula por Internet en momentos de popularidad):

(También, para mi diversión:
“Ok, ¿qué tipo de matemático eres?”
“Teórico del anillo”
“¿Teoría del anillo? Jaja. Así que probablemente ha pasado un tiempo desde que has visto la multiplicación …”)

Si bien la mayoría de las respuestas aquí se refieren a cuáles son las reglas de precedencia “correctas” o cómo recordarlas, debe tenerse en cuenta que la pregunta pregunta por qué son “tan poco conocidas”. Creo que puedo contribuir un poco más con respecto a la pregunta que me hicieron.

Para confundir las cosas, hay muchas calculadoras que no siguen las “reglas”. Aplicarán a cada operador lo antes posible. Por ejemplo, para el problema dado,

6-1 = 5

5 × 0 = 0

0 + 2 = 2

2/2 = 1

Esta estricta regla de izquierda a derecha en realidad no es irrazonable y algunas personas se acostumbran a ella. Personalmente, tenía una calculadora HP temprana y me acostumbré a invertir el pulido. (Tenía experiencia previa con calculadoras mecánicas, que también son efectivamente polacas inversas. La primera calculadora digital que tuve en mis manos era infija. Esperaba polaco inverso, así que no pude hacer que funcionara y tuve que preguntarle a alguien. ) Las calculadoras infix posteriores introdujeron paréntesis para ayudar a las personas a evitar algunos de los escollos estrictos de izquierda a derecha.

El punto principal es que las ‘reglas’ son arbitrarias y pueden variar según el contexto.

Debido a la proliferación pasada de “reglas” alternativas, lo importante hoy en día es evitar expresiones que inviten a interpretaciones erróneas. Use paréntesis si hay alguna posibilidad de mala interpretación.

En la mayoría de los lenguajes de programación hay muchos más tipos diferentes de operadores y aumenta la posibilidad de confundirse acerca de las reglas de precedencia. Entonces, cuando programo, siempre incluyo paréntesis explícitos en expresiones complicadas si hay alguna posibilidad de malinterpretarlos en ausencia de paréntesis.

Debemos tener en cuenta que, contrariamente a las actitudes de muchas personas, hay situaciones de la vida real en las que hacer esto bien es importante. Un ejemplo común es en medicina, donde obtener la dosis correcta puede ser literalmente una situación de vida o muerte. Pero varias encuestas han encontrado que los trabajadores médicos (en su mayoría enfermeras) a menudo usan agrupación de izquierda a derecha en lugar de precedencia algebraica, mientras que las reglas de dosificación impresas en los paquetes generalmente usan reglas de precedencia algebraica estándar (y pocos parentes o paréntesis). Preguntar en las escuelas de medicina determinó que este tema rara vez se cubre en sus cursos, porque se supone que sus estudiantes entienden las matemáticas básicas.

Un ejemplo simple podría ser: la etiqueta de un medicamento dice que calcule la dosis en mg usando la fórmula w + 2 * h, donde w es el peso del paciente en kg y h es su altura en cm. Entonces, para un paciente de 80 kg y 160 cm, la fórmula es 80 + 2 * 160. evaluarlo de izquierda a derecha da 242 mg; La evaluación algebraica proporciona los 400 mg correctos. En muchos, probablemente en la mayoría de los casos, la enfermera administrará la dosis de 242 mg, que es aproximadamente el 60% de la dosis recomendada. En muchos casos, el error será mucho mayor que esto. (Pruébelo con 2.5 o 3 en lugar de 2, para ver un efecto aún mayor).

En la práctica, los cálculos de dosis son a veces más complejos que esto. Por ejemplo, muchos medicamentos se excretan a través de la piel, por lo que hay un área de superficie que forma parte de la expresión de dosificación y métodos de cálculo que están sujetos al mismo tipo de errores de orden de operación.

Una sugerencia divertida que he visto es hacer la simple pregunta “¿Qué es 2 más 2 por 2?” Pruébalo con las personas que conoces; te sorprenderá la cantidad de personas que responden “8”. Por lo general, esto es inocuo, pero si se trata de su enfermera, tal vez debería estar muy nervioso por sus cálculos de dosificación, especialmente si no tiene un tamaño promedio o es un medicamento relativamente nuevo.

He visto esto mencionado en varias críticas al sistema médico, pero hasta ahora no he visto ninguna respuesta real de los administradores médicos o educadores. Por supuesto, podría haber discusiones en el fondo que los extraños nunca ven.

El orden de las operaciones es el concepto básico en matemáticas que sienta las bases para aprender matemáticas avanzadas. Puede haber bastantes razones por las que todavía no se conoce tan bien:

Hay ambigüedad en la comprensión.

La mayoría de las veces hay una confusión entre los estudiantes y pueden entender el concepto completamente equivocado. Por ejemplo, algunos estudiantes saben que primero deben simplificar la ecuación dentro del paréntesis en lugar de comprender el hecho de que también debe aplicar el orden de las operaciones, incluso dentro del paréntesis. A continuación se muestra un ejemplo:

100 – (6 + 10 x 4)

El resultado sería 54. El concepto PEMDAS se aplicará aquí incluso dentro del paréntesis y, por lo tanto, las multiplicaciones deben hacerse primero.

Creemos que el orden de las operaciones es una simplificación excesiva

A veces, no seguimos estrictamente el orden de las operaciones y preferimos resolver la ecuación de izquierda a derecha. También tendemos a resolver el problema realizando primero una operación de menor prioridad. Por ejemplo:

20 + 10-52 = 30-52 = 30-25 = 5

Aunque esto no sigue la regla del orden de operaciones, el resultado sigue siendo correcto. Por lo tanto, el proceso es inofensivo, pero evite el uso de reglas de operaciones con seguridad.

No fue enseñado correctamente

Aunque PEMDAS es un tema matemático importante, no se le da tanta importancia al enseñar. Este es el fundamento de las operaciones matemáticas que todos deberían recordar y las matemáticas deberían ser fáciles en gran medida. Hay formas de practicar BODMAS / PEMDAS que construye el concepto en un niño. Los problemas de palabras, las hojas de cálculo y las sumas de matemáticas serían una excelente manera de comenzar.

En matemáticas y programación de computadoras, el orden de las operaciones (o precedencia del operador ) es una colección de reglas que reflejan las convenciones sobre qué procedimientos realizar primero para evaluar una expresión matemática dada.

Por ejemplo, en matemáticas y en la mayoría de los lenguajes de computadora, a la multiplicación se le otorga una mayor prioridad que a la suma, y ​​así ha sido desde la introducción de la notación algebraica moderna.

Por lo tanto, la expresión 2 + 3 × 4 se interpreta que tiene el valor 2 + (3 × 4) = 14, no (2 + 3) × 4 = 20. Con la introducción de exponentes en los siglos XVI y XVII, fueron tiene prioridad sobre la suma y la multiplicación y solo se puede colocar como un superíndice a la derecha de su base.

Así 3 + 52 = 28 y 3 × 52 = 75.

Estas convenciones existen para eliminar la ambigüedad al tiempo que permiten que la notación sea lo más breve posible. Cuando se desee anular las convenciones de precedencia, o incluso simplemente enfatizarlas, los paréntesis () (a veces reemplazados por corchetes [] o llaves {} para facilitar la lectura) pueden indicar un orden alternativo o reforzar el orden predeterminado para evitar confusiones. Por ejemplo, (2 + 3) × 4 = 20 fuerzas de suma para preceder a la multiplicación, y (3 + 5) 2 = 64 fuerzas de suma para preceder a la exponenciación.

Aquí se expresa el orden de las operaciones utilizadas en matemáticas, ciencias, tecnología y muchos lenguajes de programación de computadoras:

1. exponentes [1] y raíces
2. multiplicación [1] y división [1]
3. suma [1] y resta [1]

Esto significa que si una expresión matemática está precedida por un operador binario y seguida por otro, el operador más alto en la lista debe aplicarse primero.

[1]

Las leyes conmutativas y asociativas de la suma y la multiplicación permiten agregar términos en cualquier orden y multiplicar factores en cualquier orden, pero las operaciones mixtas deben obedecer el orden estándar de las operaciones.

Es útil tratar la división como multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo) y la resta como la suma del opuesto (inverso aditivo). Así 3 ÷ 4 = 3 × ¼; en otras palabras, el cociente de 3 y 4 es igual al producto de 3 y ¼. También 3 – 4 = 3 + (−4); en otras palabras, la diferencia de 3 y 4 es igual a la suma de 3 y −4. Por lo tanto, 1 – 3 + 7 puede considerarse como la suma de 1, −3 y 7, y sumar en cualquier orden: (1 – 3) + 7 = −2 + 7 = 5 y en orden inverso (7 – 3) + 1 = 4 + 1 = 5, manteniendo siempre el signo negativo con el 3.

El símbolo raíz √ requiere un símbolo de agrupación alrededor del radicando. El símbolo habitual de agrupación es una barra (llamada vinculum) sobre el radicando. Otras funciones usan paréntesis alrededor de la entrada para evitar la ambigüedad. Los paréntesis a veces se omiten si la entrada es un monomio. Por lo tanto, sin 3x = sin (3x), pero sin x + y = sin (x) + y, porque x + y no es un monomio.

[1]

Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de funciones, otras no.

Los símbolos de agrupación se pueden usar para anular el orden habitual de las operaciones.

[1]

Los símbolos agrupados se pueden tratar como una sola expresión.

[1]

Los símbolos de agrupación se pueden eliminar utilizando las leyes asociativas y distributivas, también se pueden eliminar si la expresión dentro del símbolo de agrupación se simplifica lo suficiente para que no se produzca ninguna ambigüedad de su eliminación.

Ejemplos

[matemáticas] 1 + 3 + 5 = 4 + 5 = 2 + 5 = 7. {\ displaystyle {\ sqrt {1 + 3}} + 5 = {\ sqrt {4}} + 5 = 2 + 5 = 7. } [/matemáticas]

Una línea fraccional horizontal también actúa como un símbolo de agrupación:

[matemáticas] 1 + 2 3 + 4 + 5 = 3 7 + 5. {\ displaystyle {\ frac {1 + 2} {3 + 4}} + 5 = {\ frac {3} {7}} + 5. } [/matemáticas]

Para facilitar la lectura, a menudo se utilizan otros símbolos de agrupación, como las llaves {} o los corchetes [], junto con los paréntesis (). Por ejemplo:

[matemáticas] [(1 + 2) – 3] – (4 – 5) = [3 – 3] – (- 1) = 1. {\ displaystyle [(1 + 2) -3] – (4-5) = [3-3] – (- 1) = 1.} [/ Matemáticas]

Excepciones

Existen diferentes convenciones sobre el operador unario (generalmente se lee “menos”). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3

2

se interpreta que significa 0 – (32) = – 9,

[1]

[4]

pero en algunas aplicaciones y lenguajes de programación, especialmente Microsoft Excel (y otras aplicaciones de hoja de cálculo) y el lenguaje de programación bc, los operadores unarios tienen una prioridad más alta que los operadores binarios, es decir, el menos unario tiene mayor prioridad que la exponenciación, por lo que en esos idiomas: 3

2

se interpretará como (−3) 2 = 9.

[5]

Esto no se aplica al operador binario menos -; por ejemplo, mientras que las fórmulas =-2^2 y =0+-2^2 devuelven 4 en Microsoft Excel, la fórmula =0-2^2 devuelve −4. En los casos en que existe la posibilidad de que la notación se malinterprete, se puede ejecutar una operación binaria menos especificando explícitamente un 0 inicial (como en 0-2^2 lugar de solo -2^2 ), o se pueden usar paréntesis para aclarar el significado pretendido.

Del mismo modo, puede haber ambigüedad en el uso del símbolo de barra diagonal / en expresiones como 1/2 x .

[6]

Si uno reescribe esta expresión como 1 ÷ 2 x y luego interpreta el símbolo de división como indicando la multiplicación por el recíproco, esto se convierte en:

1 ÷ 2 × x = 1 × ½ × x = ½ × x .

Con esta interpretación, 1 ÷ 2 x es igual a (1 ÷ 2) x .

[1]

[7]

Sin embargo, en parte de la literatura académica, la multiplicación denotada por la yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita) se interpreta con mayor precedencia que la división, de modo que 1 ÷ 2 x es igual a 1 ÷ (2 x ), no (1 ÷ 2) x . Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas de Physical Review establecen que la multiplicación tiene mayor prioridad que la división con una barra diagonal,

[8]

y esta es también la convención observada en los libros de texto de física prominentes como el Curso de física teórica de Landau y Lifshitz y las Lecturas de física de Feynman .

[nb 1]

Mnemotécnica

La mnemotecnia se usa a menudo para ayudar a los estudiantes a recordar las reglas, involucrando las primeras letras de palabras que representan varias operaciones. Se utilizan diferentes mnemónicos en diferentes países.

[9]

[10]

[11]

• En los Estados Unidos, el acrónimo PEMDAS es común. Significa P arentheses, E xponents, M ultiplication, D ivision, A ddition, S ubtraction. PEMDAS a menudo se expande a la mnemónica ” Por favor, disculpe a mi querida tía Sally “. [6]
• Canadá y Nueva Zelanda usan BEDMAS , representando raquetas B , E xponentes, D ivision, M ultiplication, A ddition, S ubtraction.
• Los más comunes en el Reino Unido, India y Australia [12] son BODMAS, que significa raquetas B , O f u O rder, D ivision, M ultiplication, A ddition y S ubtraction. Nigeria y algunos otros países de África occidental también usan BODMAS. De manera similar, en el Reino Unido, se usa BIDMAS , que representa las raquetas B , los índices, la división, la multiplicación, la adición y la extracción.

Estas mnemotécnicas pueden ser engañosas cuando se escriben de esta manera.

[6]

Por ejemplo, el uso de cualquiera de las reglas anteriores en el orden “suma primero, resta después” evaluaría incorrectamente la expresión

[6]

10-3 + 2.

El valor correcto es 9 (y no 5, como si la suma se llevara a cabo primero y el resultado se usara con la resta después).

Casos especiales

Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo, porque la exponenciación es asociativa a la derecha en matemáticas, por lo tanto:

[1]

[13]

abc = a ( bc )

que normalmente no es igual a ( a

si

)

C

.

Sin embargo, algunos sistemas informáticos pueden resolver la expresión ambigua de manera diferente.

[14]

Por ejemplo, Microsoft Excel evalúa a^ b^ c como ( a

si

)

C

, que es opuesto a la convención normalmente aceptada del orden de ejecución de arriba hacia abajo para la exponenciación. Así, 4^3^2 se evalúa a 4.096 en lugar de 262.144. Otra diferencia en Microsoft Excel es - a^ b que se evalúa como (- a)^ b lugar de -( a^ b) . Por compatibilidad, se observa el mismo comportamiento en LibreOffice. El lenguaje de programación computacional MATLAB es otro ejemplo de un sistema informático que resuelve la exponenciación apilada de una manera no estándar.

Calculadoras

Artículo principal: métodos de entrada de la calculadora

Diferentes calculadoras siguen diferentes órdenes de operaciones. Muchas calculadoras simples sin una pila implementan una entrada en cadena que funciona de izquierda a derecha sin ninguna prioridad dada a los diferentes operadores, por ejemplo, escribiendo

1 + 2 × 3 produce 9,

mientras que las calculadoras más sofisticadas utilizarán una prioridad más estándar, por ejemplo, escribir

1 + 2 × 3 rinde 7.

El programa Microsoft Calculator utiliza el primero en su vista estándar y el segundo en sus vistas científica y de programador.

La entrada en cadena espera dos operandos y un operador. Cuando se presiona el siguiente operador, la expresión se evalúa inmediatamente y la respuesta se convierte en la mano izquierda del siguiente operador. Las calculadoras avanzadas permiten la entrada de la expresión completa, agrupada según sea necesario, y evalúa solo cuando el usuario usa el signo igual.

Las calculadoras pueden asociar exponentes a la izquierda o a la derecha según el modelo o el modo de evaluación. Por ejemplo, la expresión a^ b^ c se interpreta como a

( b

C

)

en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en “modo Mathprint”, mientras que se interpreta como ( a

si

)

C

en la TI-30XII y la TI-30XS MultiView en “Modo clásico”.

Una expresión como 1/2 x es interpretada como 1 / (2 x ) por TI-82, pero como (1/2) x por TI-83 y cualquier otra calculadora TI lanzada desde 1996,

[15]

así como por todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien algunos usuarios pueden esperar la primera interpretación, solo la segunda está de acuerdo con la regla estándar de que la multiplicación y la división tienen la misma precedencia,

[dieciséis]

[17]

entonces 1/2 x se lee uno dividido por dos y la respuesta multiplicada por x .

Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, es una buena idea usar paréntesis para que no haya ambigüedad.

Las calculadoras que utilizan la notación polaca inversa (RPN), también conocida como notación postfix, usan una pila para ingresar fórmulas sin necesidad de paréntesis.

[6]

Lenguajes de programación

Algunos lenguajes de programación usan niveles de precedencia que se ajustan al orden comúnmente utilizado en matemáticas,

[14]

aunque otros, como APL, Smalltalk u Occam, no tienen reglas de precedencia de operadores (en APL, la evaluación es estrictamente de derecha a izquierda; en Smalltalk y Occam, es estrictamente de izquierda a derecha).

Además, debido a que muchos operadores no son asociativos, el orden dentro de cualquier nivel individual generalmente se define agrupando de izquierda a derecha para que 16/4/4 se interprete como (16/4) / 4 = 1 en lugar de 16 / (4 / 4) = 16; tales operadores se denominan, de manera engañosa, “asociativos de izquierda”. Existen excepciones; por ejemplo, los idiomas con operadores correspondientes a la operación de contras en las listas generalmente los hacen agrupar de derecha a izquierda (“asociativo a la derecha”), por ejemplo, en Haskell, 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4] .

Los operadores lógicos bit a bit en C (y todos los lenguajes de programación que toman prestada las reglas de precedencia de C, por ejemplo, C ++, Perl y PHP) tienen un nivel de precedencia que el creador del lenguaje C considera insatisfactorio.

[18]

Sin embargo, muchos programadores se han acostumbrado a este orden. Los niveles de precedencia relativa de los operadores que se encuentran en muchos lenguajes de estilo C son los siguientes:

1

() [] ->. :: ::

Llamada de función, alcance, acceso a matriz / miembro

2

! ~ – + * y sizeof type cast ++ –

(la mayoría) operadores unarios, tamaño y tipo de moldes (de derecha a izquierda)

3

* / % MODIFICACIÓN

Multiplicación, división, módulo

4 4

+ –

Adición y sustracción

5 5

<< >>

Desplazamiento bit a izquierda y derecha

6 6

<<=>> =

Comparaciones: menor que y mayor que

7 7

==! =

Comparaciones: igual y no igual

8

Y

Bitwise Y

9 9

^

Bitwise exclusivo OR (XOR)

10

El |

Bitwise inclusive (normal) O

11

&&

Y lógico

12

||

O lógico

13

? :

Expresión condicional (ternaria)

14

= + = – = * = / =% = & = | = ^ = << = >> =

Operadores de asignación (de derecha a izquierda)

15

,

Operador de coma

Ejemplos: (Nota: en los ejemplos a continuación, ‘≡’ se usa para significar “es equivalente a”, y no debe interpretarse como un operador de asignación real usado como parte de la expresión de ejemplo).

• !A + !B ≡ (!A) + (!B)
• ++A + !B ≡ (++A) + (!B)
• A + B * C ≡ A + (B * C)
• A || B && C A || B && C ≡ A || (B && C) A || (B && C)
• A && B == C ≡ A && (B == C)
• A & B == C ≡ A & (B == C)

Los compiladores de fuente a fuente que compilan en varios idiomas deben abordar explícitamente el problema del orden diferente de las operaciones en todos los idiomas. Haxe, por ejemplo, estandariza el orden y lo aplica insertando corchetes donde sea apropiado.

[19]

Se ha encontrado que la precisión del conocimiento del desarrollador de software sobre la precedencia del operador binario sigue de cerca su frecuencia de ocurrencia en el código fuente.

Fuente: Wikipedia Orden de operaciones – Wikipedia

GRACIAS POR LEER !!!

SÍGUEME PARA OBTENER RESPUESTAS A SUS CONSULTAS: Aditya Kadam

El propósito de estas publicaciones de Facebook no es encontrar la respuesta correcta en primer lugar.

Dado que el orden de las operaciones es una cuestión de convención, si uno nunca ha escuchado las reglas, no las conocerán. Lo más probable es que insista en la forma más intuitiva de hacer las cosas, probablemente en orden de izquierda a derecha.

Además de eso, la mayoría de las expresiones en Facebook son intrínsecamente ambiguas y siempre puedes evitar eso ya sea agregando paréntesis o usando expresiones fraccionarias en lugar de ÷.

Dependiendo del grupo que publicó la pregunta, se encontrará con personas de diferentes orígenes y este tipo de preguntas generalmente se publican en grupos donde la mayoría no tiene educación. Las personas se apresurarán a responder para demostrar que realmente saben algo y surgen todo tipo de respuestas diferentes que conducen a un debate que, por supuesto, incluye respuestas incorrectas. Mientras no haya una mayoría clara, las personas se adhieren a su “opinión” original y siguen discutiendo al respecto, mientras que la participación en la página y las vistas se disparan.

Entonces, la próxima vez que vea una pregunta similar, trate de evitar entrar en una discusión y publique este hilo de Quora.

Estoy respondiendo esto en contexto con la India.
No es que este orden, es decir, la regla BODMAS, sea poco conocido, de hecho, se enseña a todos los estudiantes en el tercer nivel que están en la escuela india. Ahí es exactamente donde radica el problema. En el 3er estándar, los estudiantes nunca se dan cuenta de su importancia y dan por sentado que no se relacionan a largo plazo :). Están más ocupados aprendiendo las reglas de varios juegos …

En lo que respecta a la respuesta
6-1 * 0 + 2/2
= 6 – 1 (0) +2/2
= 6-0 + 1
= 7

La respuesta correcta depende de la precedencia del operador. Sin embargo, el orden es solo una cuestión de convención. No es un hecho empírico o de naturaleza, ni un hecho derivado de las matemáticas basado en algunos supuestos fundamentales. Básicamente, el orden está destinado a evitar poner los paréntesis en expresiones simples.

Por lo tanto, es bastante posible que el orden que se enseña en los niveles escolares varíe según el sistema educativo, los planes de estudio escolares, etc. Eso en sí mismo no compromete ningún rigor matemático siempre que los estudiantes reconozcan la aleatoriedad de la elección en los niveles más maduros. Cualquier programador que valga la pena puede escribir un programa para analizar una expresión con cualquier precedencia de operador y asociatividad que desee. Ningún pedido es más correcto que otro, solo que algunos de ellos fueron los que tu maestro principal te enseñó. Así que no te preocupes pensando que eres el único que conoce la precedencia correcta.

La razón por la que esto rara vez se sabe es porque es deliberadamente obtuso. Es casi seguro que hay una manera correcta de abordar esta expresión, pero el “problema” es escribirla de esta manera en primer lugar.

Se da mucho esfuerzo en los primeros cursos de Álgebra para tratar de decodificar la intención en expresiones como esta. Se les pide a los estudiantes que memoricen PEMDAS [Paréntesis, exponentes, multiplicación, división, suma y resta]. Muchos estudiantes pueden ser “incorporados”, por así decirlo, para que ellos también puedan decodificar expresiones monstruosas como esta.

Sin embargo, cualquier estudiante que llegue muy lejos aprenderá, ya sea a través de la instrucción directa o la deserción, que usted NO ESCRIBE EXPRESIONES COMO ESTA. Simplemente no está hecho. Tratar de enseñarles a los estudiantes matemáticas de esta manera es similar a usar entradas matemáticas de estilo de símbolo del sistema en un libro de texto [es decir, lo que podría escribir en WolframAlpha para que integre una función]. No es cómo se escriben las matemáticas.

Creo que una enseñanza correcta del orden de las operaciones debería ser totalmente inversa de la forma en que se presenta actualmente. En lugar de pedirles a los estudiantes que descifren expresiones mal escritas. Deben tener la tarea de escribir expresiones bien escritas. Se les debe pedir que critiquen las expresiones mal escritas. Para mejorarlos.

Si un estudiante mío dejara la expresión que publicaste como respuesta, o explicación de lo contrario, deduciría mucho por ambigüedad. Las matemáticas no deberían escribirse de esa manera, y no deberíamos pedirles a los estudiantes que las descifren.

Creo que esto se debe a que los problemas matemáticos como el que se muestra arriba casi nunca ocurren en la vida cotidiana. Nunca se espera que en la vida diaria normal se realice un problema matemático como ese.

Seguir las reglas de BODMAS en la resolución de problemas matemáticos requiere dos conjuntos de habilidades separados pero muy

Primer conjunto de habilidades lógicas.
y matemático, este tipo de confusión confunde a la mente y finalmente abandona las operaciones lógicas necesarias para seguir BODMAS y luego simplemente seguir la intuición. esto significará que lo más probable es que la respuesta sea incorrecta, ya que las operaciones procederán principalmente de manera incorrecta.

Las personas que hablan inglés leen de izquierda a derecha, superar esta tendencia incluso en ecuaciones matemáticas es muy difícil, por lo que las personas a menudo lo harán mal sabiendo que es probable que la respuesta sea incorrecta.

Bueno, usted hizo la observación en FACEBOOK, la gente se preocupa principalmente por proporcionar una respuesta en lugar de la correcta.

Justice Ndou