En primer lugar, hablemos de las curvas holomórficas. Una curva holomórfica es un mapa holomórfico de una curva compleja (es decir, una superficie de Riemann) en una multiplicidad compleja X. Tales cosas se consideran en algunas formulaciones de la teoría de cuerdas: aproximadamente estos mapas representan las hojas del mundo de cadenas que se mueven e interactúan entre sí en el interior del múltiple objetivo X.
Todo está destinado a reflejar el camino integral; Las superficies son los “caminos”. Ordinariamente con partículas puntuales tenemos un espacio de caminos de dimensiones infinitas, esta es una razón por la cual la integral del camino es matemáticamente tan problemática, sin embargo, en este caso tenemos suerte de que la holomorficidad sea una condición fuerte para que el espacio de los mapas holomórficos en X sea de dimensión finita, por lo tanto, podemos tener alguna esperanza de hacer integrales en todo este espacio. Sin embargo, todavía hay un problema, ya que este espacio no es compacto, por lo que generalmente consideramos la compactación Deligne-Mumford del espacio de los mapas holomórficos en X, por lo que en lugar de solo mapas holomórficos de superficies lisas de Riemann en X, consideramos también mapas holomórficos de ciertos tipos de superficies nodales de Riemann en X. De todos modos, desde la perspectiva de la física, todo esto es solo para calcular integrales de ruta que tienen el significado que tienen en física (no soy físico, así que no realmente saben). Desde una perspectiva matemática, estas integrales dan invariantes interesantes de variedades complejas o variedades algebraicas complejas.
Entonces, ¿qué pasa con las variedades simplécticas? En primer lugar, las variedades simplécticas no son necesariamente complejas, por lo que no podemos hablar de mapas holomórficos de curvas en una variedad simpléptica. Sin embargo, es un hecho que a cualquier múltiple simpléctico se le puede dar una estructura casi compleja: una involución J en el paquete tangente de modo que J ^ 2 = -1 (imitando la unidad imaginaria \ sqrt {-1}) y podemos hablar de mapas de curvas en múltiples simplécticos que son compatibles con esta estructura casi compleja. Estas se llaman curvas pseudoholomorfas o curvas J-holomorfas. Con algo de trabajo, la historia de las curvas holomórficas que describí continúa y todavía funciona en el contexto J-holomorfo. Por lo tanto, podemos usar este marco para producir invariantes de múltiples simplécticos además de invariantes de múltiples complejos.
- ¿Las propiedades de elevación y extensión de la homotopía son duales entre sí en un sentido más abstracto?
- ¿De dónde viene la intuición matemática? ¿Está biológicamente codificado por la evolución?
- ¿Qué es la forma polar?
- Cómo expresar un patrón en notación sigma
- ¿Cómo explican las matemáticas el universo?
