[math] \ dfrac {a} {b + c}, \ dfrac {b} {c + a}, \ dfrac {c} {a + b} [/ math] están en AP si y solo si
[matemáticas] \ dfrac {c} {a + b} – \ dfrac {b} {c + a} = \ dfrac {b} {c + a} – \ dfrac {a} {b + c} [/ matemáticas] .
Esto se simplifica a
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[matemáticas] \ dfrac {(a + b + c) (cb)} {(a + b) (c + a)} = \ dfrac {(a + b + c) (ba)} {(c + a) (b + c)}… (\ estrella) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que cada uno de los términos en los denominadores no son cero ya que forman parte de las fracciones que debemos mostrar están en AP .
Si [matemáticas] a + b + c = 0 [/ matemáticas], ec. [math] (\ star) [/ math] se mantiene, ya sea que [math] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ math] estén en AP.
Si [matemática] a + b + c \ ne 0 [/ matemática], ecuación. [matemática] (\ estrella) [/ matemática] se reduce a [matemática] (cb) (c + b) = (b + a) (ba) [/ matemática], o a [matemática] c ^ 2-b ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 [/ math], que es lo mismo que [math] a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2 [/ math] están en AP. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
