La cohomología es un concepto muy general en todas las matemáticas. Y es la herramienta central de muchas ramas de la matemática pura en la actualidad.
Surgió primero en topología algebraica, donde se usó para derivar invariantes numéricos o algebraicos de espacios topológicos (inicialmente de complejos simpliciales). Durante las décadas de 1940 y 1950, cuando surgieron las matemáticas “modernas”, los conceptos anteriores de cohomología se pusieron en una base muy abstracta, utilizando el concepto de complejos de cadena (Co) (que son secuencias de objetos algebraicos y homomorfos, como grupos, vectores espacios, anillos, etc.)
[matemática] \ dots \ rightarrow C ^ {n-1} \ rightarrow C ^ n \ rightarrow C ^ {n + 1} \ rightarrow \ dots [/ math]
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con la propiedad de que la composición de dos flechas consecutivas es siempre el mapa cero. Eso implica que siempre la imagen del predecesor (convenientemente denotada por [math] d ^ {n-1} [/ math] para derivación ) está contenida en el núcleo del sucesor (nuevamente denotado por [math] d_n [/ math] ), y la enésima cohomología del complejo de la cadena se define entonces por [matemáticas] H ^ {n} (C) = \ text {kernel} d ^ n / \ text {image} d ^ {n-1}. [/matemáticas]
Este concepto se extendió a muchas áreas de las matemáticas. En geometría diferencial y análisis, los complejos de cadena se definieron utilizando formas diferenciales de varios grados y diferenciación exterior; Esto condujo a conceptos como la cohomología deRham, las variedades de Kähler y el famoso teorema del índice Atiyah Singer.
En análisis complejos, la cohomología checa se utilizó para resolver los problemas pendientes de la continuación analítica. Tras el desarrollo impulsado por Alexandre Grothendieck en geometría algebraica, también en análisis complejo , se introdujo una forma más abstracta de definición de cohomología, utilizando el concepto de gavillas , y condujo a vastas generalizaciones de los teoremas de Riemann Roch en las décadas de 1950 y 1960.
También se descubrió que muchas construcciones que eran bastante familiares para los algebraistas encajaban en ese marco. La cohomología de grupos es uno de ellos.
Para un grupo [matemática] G [/ matemática] y una representación [matemática] M [/ matemática] (un módulo sobre un anillo, donde [matemática] G [/ matemática] actúa como un grupo de automorfismos lineales) la n-ésima cadena El módulo de [math] G [/ math] con valores en [math] M [/ math] se define como el grupo de todas las funciones [math] G ^ n \ rightarrow M [/ math]. El mapeo de cochain se define por contracción: [matemática] \ phi (g_1, \ dots, g_n) = g_1 \ phi (g_2, \ dots, g_n) + \ sum (-1) ^ i \ phi (g_1, \ dots, g_ig_ {i + 1}, \ dots, g_n) + (- 1) ^ n \ phi (g_1, \ dots, g_ {n-1}) [/ math]
y la cohomología n-the de [math] G [/ math] con valores en [math] M [/ math] se define como la cohomología de este complejo cochain. Tenga en cuenta, y tal vez resuelva como ejercicio: la cohomología de grado cero de [matemáticas] G [/ matemáticas] con valores en [matemáticas] M [/ matemáticas] es solo el módulo de invariantes de [matemáticas] M [/ matemáticas] bajo el acción de [matemáticas] G [/ matemáticas].
