Si [matemática] a ^ 3-b ^ 3 = 9 [/ matemática] y [matemática] a ^ 2-b ^ 2 = 3 [/ matemática], ¿qué es [matemática] ab [/ matemática]?

Si tiene una calculadora gráfica, puede reescribir estas ecuaciones en tres ecuaciones que hacen que Y = algo en términos de X. Podemos cambiar a a X yb a Y ; o viceversa.

Lo hice en ambos sentidos en la calculadora (ver más abajo)

Así es como cambié b a X y a a Y :

• Y³ – X³ = 9

• Y³ = 9 + X³

• Y = [matemáticas] \ sqrt [3] {9 + x ^ 3} [/ matemáticas]

Tenemos que convertir su segunda ecuación en dos ecuaciones Y = porque la raíz cuadrada solo nos da un resultado positivo.

• Y² – X² = 3

• Y² = 3 + X²

• Y = + [matemáticas] \ sqrt {3 + X²} [/ matemáticas]
• Y = – [matemáticas] \ sqrt {3 + X²} [/ matemáticas]

Ahora, grafica esto en tu calculadora. Las imágenes son de la calculadora gráfica Texas Instruments TI-84 PLUS CE. Las dos imágenes inferiores son del ejemplo que se muestra arriba.

• Presione (Y =) para abrir la pantalla de funciones
• Escriba las tres ecuaciones como se muestra
• Presione (Ventana) para editar los límites de la ventana como se muestra
• Grafica la ecuación (no se muestra) entonces

• Presione (2nd) (Calc) luego elija la opción 5 (Intersección)
• Presione (Entrar) dos veces para elegir las dos primeras ecuaciones
• Mueva el cursor cerca de la posición donde desea ver la intersección
• Presione ENTRAR y la calculadora moverá el cursor al punto de intersección.

Hay, por supuesto, una respuesta más fácil de encontrar. Podrías haber usado prueba y error para encontrar esa respuesta.

Existen otros métodos que pueden usarse para encontrar estas respuestas. Asegúrese de leer las otras respuestas a esta pregunta.

SOLUCIÓN

a ^ 3 – b ^ 3 = 9

a ^ 2 – b ^ 2 = 3

entonces

a ^ 3 – b ^ 3 = 3 (a ^ 2 -b ^ 2)

a ^ 3 – b ^ 3 = 3 (a ^ 2) – 3 (b ^ 2)

a ^ 3 – b ^ 3 – 3 (a ^ 2) + 3 (b ^ 2)

Hacer agrupación

a ^ 2 (a-1) + b ^ 2 (1-b) = 0

si suma dos números y la suma es cero, ambos son iguales a CERO

SO a ^ 2 (a-1) = 0

a = 1 de manera similar b = 1

ab = 1–1 = 0

espero que sea correcto y claro

[matemáticas] a ^ 3 – b ^ 3 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 – b ^ 2 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – b) (a + b) = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – b) (a ^ 2 + b ^ 2 + ab) = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + ab = 3 (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2ab = 3 (a + b) – 3ab [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab = 3 (a + b) + ab [/ matemáticas]

sustituir el siguiente

[matemáticas] x = a – b [/ matemáticas]

[matemáticas] y = a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] z = ab [/ matemáticas]

[matemáticas] xy = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3 / año [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = 3y – 3z [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = 3y + z [/ matemáticas]

[matemáticas] (3 / año) ^ 2 = 3y – 3z [/ matemáticas]

[matemáticas] 3y ^ 2 = 9y + 3z [/ matemáticas]

[matemáticas] 3y ^ 2 + (3 / a) ^ 2 = 12y [/ matemáticas]

[matemáticas] 3y ^ 4 + 9 = 12y ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3y ^ 4 – 12y ^ 3 + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 4 – 4y ^ 3 + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 3 (y – 1) – 3y ^ 3 + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 3 (y – 1) – 3y ^ 2 (y – 1) – 3y ^ 2 + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] y ^ 3 (y – 1) – 3y ^ 2 (y – 1) – 3y (y – 1) – 3y + 3 = 0 [/ matemática]

[matemática] y ^ 3 (y -1) – 3y ^ 2 (y – 1) – 3y (y – 1) – 3 (y – 1) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (y – 1) (y ^ 3 – 3y ^ 2 – 3y – 3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a – b = x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

Al factorizar y resolver para [math] ab [/ math] en ambas ecuaciones y establecerlas iguales, obtenemos

[matemáticas] \ frac {9} {a ^ 2 + ab + b ^ 2} = \ frac {3} {a + b} [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] 3a + 3b = a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + ab-3a-3b = 0 [/ matemáticas]

es una sección cónica (elipse) que tiene gráficos como este (con a en el eje xyb en el eje y):

Pongamos [matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = 9 [/ matemáticas] en la misma gráfica.

Aquí podemos ver dos soluciones. La solución entera en [math] (2, -1) [/ math]. Esto produce [matemáticas] ab = 3 [/ matemáticas].

La otra solución es aproximadamente [matemática] (2.35,1.60) [/ matemática], produce un [matemática] ab \ aproximadamente 0.75 [/ matemática].

Algún tiempo después, podría tratar de encontrar la expresión exacta para esta solución.

[matemáticas] (a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a ^ 2-b ^ 2) = (ab) (a + b) = 3 [/ matemáticas]

Para la segunda ecuación, [matemáticas] b = \ pm \ sqrt {a ^ 2-3} [/ matemáticas]

Las soluciones de enteros incluyen [matemáticas] a = \ pm2, b = \ pm1 [/ matemáticas]

Con la consideración de la primera ecuación, esto deja solo a, b = 2, -1

ab = 3

factoriza ambas expresiones E1 y E2 respectivamente, el LHS de cada uno es la diferencia de dos cubos DQ y la diferencia de dos cuadrados DS respectivamente:

E1:

(ab) (a ^ 2 + ab + b) = 9

E2:

(ab) (a + b) = 3

entonces

(ab) (a ^ 2 + ab + b) = 3 (ab) (a + b)

a – b = 0 hace esto verdadero al hacer que ambos lados = 0.

Pero esto contradice E1:

DQ tiene factor ab por lo que es cero contradice E1

También DS tiene factor a- b es cero contradice E2

Ecuaciones inconsistentes.

Por inspección, a = 2 yb = -1,

2 ^ 3 – (- 1) ^ 3 = 9

2 ^ 2 – (-1) ^ 2 = 3

Por lo tanto, ab = 3.

A veces lo miras y solo lo ves, especialmente cuando involucra números enteros pequeños.