El análisis del dominio de frecuencia y las transformadas de Fourier son una piedra angular del análisis de señales y sistemas. Estas ideas también son uno de los pilares conceptuales dentro de la ingeniería eléctrica. Entre todas las herramientas matemáticas utilizadas en ingeniería eléctrica, el análisis de dominio de frecuencia es posiblemente el de mayor alcance. De hecho, estas ideas son tan importantes que se utilizan ampliamente en muchos campos, no solo en ingeniería eléctrica, sino en prácticamente todas las ramas de la ingeniería y la ciencia, y en varias áreas de las matemáticas.
El ejemplo más común y familiar de contenido de frecuencia en las señales es probablemente las señales de audio y la música en particular. Todos estamos familiarizados con las notas musicales “altas” y las notas musicales “bajas”. De hecho, las notas altas tienen un contenido de frecuencia más alto que las notas bajas, pero ¿qué significa esto exactamente?
El lugar para comenzar a responder esta pregunta es considerar las sinusoides. Recuerde que la expresión general para una sinusoide a frecuencia ω (o frecuencia f en hercios) es,
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x (t) = a sin (ωt + φ) = a sin (2πf t + φ)
Cuando se considera como una señal de audio, x (t) indica los cambios en la presión del aire en nuestros oídos en función del tiempo. Lo importante aquí es la variación en el tiempo de la presión del aire de algún valor ambiental en lugar del valor ambiental de la presión misma. Un valor negativo se refiere a esa cantidad por debajo de la presión de referencia (ambiente), mientras que una cantidad positiva se refiere a una presión más alta que la de referencia.
Entonces, x (t) es una sinusoide significa que la presión del aire en nuestros oídos varía periódicamente en torno a cierta presión ambiental de la manera indicada por la sinusoide. El sonido que escuchamos en este caso se llama un tono puro. Los tonos puros a menudo suenan artificiales (o electrónicos) en lugar de musicales. La frecuencia de la sinusoide determina el “tono” del tono, mientras que la amplitud determina el “volumen”. Resulta que la fase de la sinusoide no afecta nuestra percepción del tono, lo que puede no ser sorprendente para un tono puro, pero es algo sorprendente cuando comenzamos a combinar sinusoides.
Podemos combinar dos sinusoides agregando las señales de la manera habitual. Por ejemplo,
x (t) = sin (2πt) + sin (4πt)
es una combinación de una sinusoide con frecuencia de 1 Hz y una sinusoide con frecuencia de 2 Hz. Aquí la amplitud de cada sinusoide es 1 y la fase de cada uno es 0. En la Figura (1) se muestra un gráfico de x (t) El “sonido” creado por x (t) es la combinación de los dos tonos puros que producen x (t). Desafortunadamente, como discutiremos con más detalle en el Capítulo XX, los humanos no pueden escuchar los tonos puros que comprenden la señal x (t) anterior ya que las frecuencias son demasiado bajas.
Sin embargo, podemos hacer una combinación similar con señales en frecuencias que los humanos pueden escuchar. Por ejemplo, considere la señal
d (t) = sin (2π × 350 × t) + sin (2π × 440 × t)
Cada una de las dos sinusoides (en frecuencias de 350 Hz y 440 Hz) solo corresponde a un tono puro que puede ser escuchado por el oído humano normal. Su combinación, es decir, la señal d (t), produce un sonido muy familiar, es decir, el tono de marcado en una línea telefónica estándar de EE. UU. Una gráfica de d (t) se muestra en la Figura (2da) a continuación. Tenga en cuenta que en esta figura solo se muestran 2 centésimas de segundo. Debido a que las frecuencias son altas, si mostramos incluso un segundo entero, la señal oscilaría tantas veces (350 y 440 para los sinusoides constituyentes) que no se verían muchos detalles útiles.
Aunque el tono de marcación es un ejemplo simple de un sonido que todavía suena artificial, al combinar más sinusoides a diferentes frecuencias podemos obtener muchos otros sonidos. Las notas musicales que encontramos agradables consisten principalmente en tonos puros cerca del tono de la nota musical, pero también contienen otras frecuencias que le dan a cada instrumento sus cualidades particulares. La voz y otros sonidos naturales también se componen de una serie de tonos puros.
Sorprendentemente, todos los sonidos pueden construirse a partir de tonos puros, y del mismo modo, todas las señales de tiempo pueden construirse combinando sinusoides. Del mismo modo, comenzando con una señal de tiempo general, se puede dividir esta señal en sus sinusoides constituyentes. Cómo hacer esto y las consecuencias de tales construcciones / descomposiciones es el tema del análisis de dominio de frecuencia y las transformadas de Fourier.
