Por teorema binomial,
[matemáticas] \ displaystyle (1 + x) ^ n = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} x ^ r \ tag {1} [/ matemáticas]
Sustituyendo [math] x = e ^ {i \ theta} [/ math] en (1), obtenemos,
- Un tanque se llena en 3 horas, pero debido a una fuga, lleva 1 hora más llenarlo. ¿Cuánto tiempo llevará vaciar el tanque?
- Rompecabezas matemáticos: ¿en cuántos intentos se puede abrir una cerradura con n ruedas si las ruedas nm deben estar en la posición correcta para que se abra?
- ¿Cómo se descubrió el número e?
- ¿Cuál es el significado del teorema de Artin-Wedderburn?
- ¿Cuál es la forma de convertir una razón en un porcentaje?
[matemáticas] \ displaystyle (1 + e ^ {i \ theta}) ^ n = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} e ^ {ir \ theta} \ tag {2} [/ matemáticas]
Por la fórmula de Euler,
[matemáticas] \ displaystyle (1 + \ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ n = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ cos r \ theta + i \ sum_ {r = 0 } ^ n {n \ elegir r} \ sin r \ theta \ tag {3} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ left (2 \ cos ^ 2 \ frac {\ theta} {2} + i 2 \ sin \ frac {\ theta} {2} \ cos \ frac {\ theta} {2} \ right) ^ n = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ cos r \ theta + i \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ sin r \ theta \ tag {4} [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle 2 ^ n \ cos ^ n \ frac {\ theta} {2} \ left (\ cos \ frac {\ theta} {2} + i \ sin \ frac {\ theta} {2} \ right ) ^ n = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ cos r \ theta + i \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ sin r \ theta \ tag {5 }[/matemáticas]
Usando la fórmula de De Moivre,
[matemáticas] \ displaystyle 2 ^ n \ cos ^ n \ frac {\ theta} {2} \ left (\ cos \ frac {n \ theta} {2} + i \ sin \ frac {n \ theta} {2} \ right) = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ cos r \ theta + i \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ sin r \ theta \ tag {6 }[/matemáticas]
Al comparar las partes reales en ambos lados de (6), obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ cos r \ theta = 2 ^ n \ cos ^ n \ frac {\ theta} {2} \ cos \ frac {n \ theta } {2} \ tag {7} [/ matemáticas]
Apéndice:
Comparar las partes imaginarias de (6) nos da,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elegir r} \ sin r \ theta = 2 ^ n \ cos ^ n \ frac {\ theta} {2} \ sin \ frac {n \ theta } {2} \ tag {8} [/ matemáticas]
De (7) y (8), obtenemos la siguiente identidad no trivial,
[matemáticas] \ displaystyle \ tan \ frac {n \ theta} {2} \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ choose r} \ cos r \ theta = \ sum_ {r = 0} ^ n {n \ elija r} \ sin r \ theta \ tag {9} [/ math]
