Los grupos de Galois (en álgebra) son análogos a los grupos de transformación de mazos (en topología):
Dada una extensión de Galois E / F, el grupo Galois Gal (E / F) se define como el conjunto de automorfismos de E que fijan F. Por definición, F es un subcampo de E, por lo que hay un mapa de inclusión [matemática] i: F \ hookrightarrow E [/ math]. Pensando geométricamente, si E es el campo de funciones en un espacio X y F es el campo de funciones en un espacio Y, entonces el mapa de inclusión [matemática] i: F \ hookrightarrow E [/ matemática] corresponde a un mapa “hacia atrás” [matemáticas] i ^ \ ast: X \ a Y [/ matemáticas]. (Si E / F es una extensión de grado n, entonces puede pensar en [matemática] X \ a Y [/ matemática] como una cubierta ramificada n-a-1). Un automorfismo [matemático] \ alpha [/ matemático] de E que corrige F corresponde a un automorfismo [matemático] \ alpha ^ \ ast: X \ a X [/ matemático] que satisface la propiedad de que [matemático] i ^ \ ast \ circ \ alpha ^ \ ast = i ^ \ ast [ /matemáticas].
Sea Y un espacio topológico y [math] \ pi: X \ to Y [/ math] un espacio de cobertura. Luego, el grupo de transformación de mazo de [math] \ pi [/ math] se define como el conjunto de automorfismos [math] \ alpha: X \ to X [/ math] que satisfacen la propiedad [math] \ pi \ circ \ alpha = \ pi [/ matemáticas]. (Cuando [math] \ pi: X \ to Y [/ math] es la cubierta universal de Y, entonces el grupo de transformación de mazo es isomorfo al grupo fundamental de Y.)
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Ahora observe la similitud entre las dos ecuaciones anteriores.
En el caso de cubiertas (ramificadas) de superficies compactas de Riemann (o curvas algebraicas proyectivas complejas), el grupo de transformación de mazo realmente coincide con el grupo de Galois correspondiente que se obtiene cuando considera los campos de funciones meromórficas en esas superficies de Riemann. Aquí hay algunas referencias donde puede leer más sobre eso: http://mathoverflow.net/question…
