Tenemos [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {9i-6} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {3 (3i -2)}. [/ Matemáticas]
No se conoce ninguna forma cerrada para esta suma. Creo que hay una manera de calcularlo usando integrales como una generalización de esta fórmula:
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {i} = \ int_0 ^ 1 \ frac {1-x ^ n} {1-x} dx [/ matemáticas]
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Construí una generalización de esta suma. Nota
[matemáticas] (1 + x ^ 3 + x ^ 6 + \ dots + x ^ {3 (n-1)}) (1-x ^ 3) = 1 + x ^ 3 + x ^ 6 + \ dots + x ^ {3 (n-1)} – x ^ 3-x ^ 6- \ dots-x ^ {3 (n-1)} – x ^ {3n} = 1-x ^ {3n} [/ math]
Dividiendo ambos lados por [matemáticas] 1-x ^ 3 [/ matemáticas] da
[matemáticas] 1 + x ^ 3 + \ puntos + x ^ {3 (n-1)} = \ frac {1-x ^ {3n}} {1-x ^ 3} [/ matemáticas]
Integre ambos lados de 0 a 1, y después de reescribir la suma obtenemos
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {3i-2} = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {3 (i-1) +1} = x + \ frac {x ^ {3 + 1}} {3 + 1} + \ puntos + \ frac {x ^ {3 (n-1) +1}} {3 (n-1) +1} | _ {x = 0 } ^ 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_0 ^ 1 1 + x ^ 3 + \ dots + x ^ {3 (n-1)} dx = \ int_0 ^ 1 \ frac {1-x ^ {3n}} {1-x ^ 3 } dx [/ matemáticas]
Anotar [matemáticas] \ frac {1} {3 (0) -2} = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] significa que debemos restar [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas ] de ambos lados y luego multiplicar por [matemáticas] \ frac {1} {3}. [/ matemáticas] Así obtenemos
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {3 (3i-2)} = \ frac {1} {3} (- \ frac {1} {2} + \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {3i-2}) = – \ frac {1} {6} + \ frac {1} {3} \ int_0 ^ 1 \ frac {1-x ^ {3n}} { 1-x ^ 3} dx. [/ Matemáticas]
Esa es la mejor manera de calcularlo, supongo.
