No son lo mismo, y esto es una confusión para las personas que comienzan en el estudio de la lógica. Hay dos cosas diferentes: la lógica, que es como el conjunto de instrucciones de la computadora que está utilizando, y los datos, el modelo en el que está pensando, que es como las cosas que podrían estar dentro de la memoria de esta computadora.
El “no existe” pertenece a la lógica. Es hacer una afirmación sobre el universo desde fuera del universo. El “conjunto vacío” describe datos, es un elemento de su modelo, de su universo. Cuando dice “no existe x con la propiedad P”, si de alguna manera puede vincular las cosas con la propiedad P, de modo que haya un conjunto S que contenga todas las cosas que podrían tener la propiedad P, entonces puede convertir esto a otra declaración sobre conjuntos: el conjunto de todas las x en S con la propiedad P es igual al conjunto vacío.
Las dos cosas se eligen a propósito para que se relacionen, de modo que el universo pueda modelar universos construidos lógicamente a partir de axiomas lógicos de primer orden, por eso los universos de teoría de conjuntos son convenientes para la lógica. Puede tomar la unión, que es como “o”, o tomar la intersección “y”, la diferencia simétrica “xor”, y las operaciones de conjunto que son elementales corresponden exactamente a las operaciones lógicas que son elementales, ambas son álgebras booleanas.
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Lo que hace que la teoría de conjuntos sea interesante es cómo hacer modelos ordinales infinitos y definir la inducción en secuencias ordenadas cada vez más altas. Esto permite que las matemáticas se vuelvan más completas sin límite en el extremo superior.
