¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] \ frac {ab + bc + cd + de} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2} [/ matemáticas]?

(Editado después del comentario de Chetan)

[matemáticas] F = \ frac {ab + bc + cd + de} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2} [/ matemáticas]

O,

[matemáticas] F = \ frac {2ab + 2bc + 2cd + 2de} {2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2 + 2d ^ 2 + 2e ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 1 – F = \ frac {a ^ {2} + b ^ {2} – 2ab + b ^ {2} + c ^ {2} – 2bc + c ^ {2} + d ^ {2} – 2cd + d ^ {2} + e ^ {2} – 2de + a ^ {2} + e ^ {2}} {2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2 + 2d ^ 2 + 2e ^ 2} [/ matemáticas]

O,

[matemáticas] 1 – F = \ frac {(a – b) ^ {2} + (b – c) ^ {2} + (c – d) ^ {2} + (d – e) ^ {2} + a ^ {2} + e ^ {2}} {2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2 + 2d ^ 2 + 2e ^ 2} [/ matemáticas]

O,

[matemáticas] F = 1 – \ frac {(a – b) ^ {2} + (b – c) ^ {2} + (c – d) ^ {2} + (d – e) ^ {2} + a ^ {2} + e ^ {2}} {2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2 + 2d ^ 2 + 2e ^ 2} [/ matemáticas]

Dejar

[matemáticas] G = \ frac {(a – b) ^ {2} + (b – c) ^ {2} + (c – d) ^ {2} + (d – e) ^ {2} + a ^ {2} + e ^ {2}} {2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2 + 2d ^ 2 + 2e ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] F = 1 – G [/ matemáticas]

Para maximizar F, necesitamos minimizar G.

Podemos ver claramente que:

1. [matemáticas] G> = 0 [/ matemáticas]

Mi respuesta anterior, sigue siendo válida solo hasta este punto.

Empecemos,

Los números dados no se dan como reales positivos, por lo que no hay posibilidad de utilizar desigualdades RMS-AM-GM-HM.

Ahora tenemos que confiar en nuestras identidades algebraicas básicas.

Sabemos que el cuadrado de cualquier número real siempre es positivo. Entonces,

[matemáticas] (ab) ^ 2 + (bc) ^ 2 + (cd) ^ 2 + (de) ^ 2 \ ge 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la igualdad ocurrirá cuando [matemáticas] a = b = c = d = e [/ matemáticas]

Resultados en expansión en,

[matemáticas] a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2 + 2d ^ 2 + e ^ 2 \ ge 2 (ab + bc + cd + de) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2 – \ dfrac {a ^ 2 + e ^ 2} {2} \ ge ab + bc + cd + de [/ math]

[matemáticas] 1 – \ dfrac {a ^ 2 + e ^ 2} {2 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2)} \ ge \ dfrac {ab + bc + cd + de} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2} [/ matemáticas]

LHS siempre es mayor que RHS, pero igual cuando todos los números son iguales. Entonces, el valor máximo de RHS será el mismo que el valor de LHS.

Por lo tanto, podemos decir que el máximo ocurrirá cuando todos los números sean iguales.

[matemáticas] \ max \ left [\ dfrac {ab + bc + cd + de} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2} \ right] = \ dfrac {kk + kk + kk + kk} {k ^ 2 + k ^ 2 + k ^ 2 + k ^ 2 + k ^ 2} = \ dfrac {4} {5} [/ matemáticas]

También puede verificar la igualdad cuando todos los números son iguales

[matemáticas] 1 – \ dfrac {a ^ 2 + e ^ 2} {2 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2)} \ ge \ dfrac {ab + bc + cd + de} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 + e ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1- \ dfrac {1} {5} = \ dfrac {4} {5} [/ matemáticas]

¡Espero eso ayude!

Para aquellos que dicen [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es el valor máximo,

¡Puedo decir que [math] \ sin (x) \ le 5 [/ math] pero esto no implica que [math] 5 [/ math] sea el valor máximo!

Esta no es una pregunta de desigualdad regular. Puede suponer que a = e y b = c = d debido a la simetría. Y resolver en dos variables te dará

0.860379610028063221999815590738786422286592523220869471142…