¿Existe realmente el número 1?

“¿Existe” en qué sentido?

¿Existe con una instanciación física en la naturaleza? No. No existe un número en este sentido. Si este es nuestro estándar de oro para el significado de “existencia”, entonces muchas otras cosas que damos por sentado tampoco existen. Lo que puede estar bien, pero es obvio que debemos cuidarnos de entender lo que entendemos por “existencia”.

La idea de la “existencia” de un objeto matemático es algo más sutil. Esencialmente significa que podemos definir el objeto y demostrar que de acuerdo con esta definición y nuestro sistema axiomático fundacional no surge ninguna contradicción.

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• Si [matemáticas] 6! \ veces 7! = 10! [/ Math], ¿puedes encontrar otro conjunto de valores como [math] m! \ veces n! = r! [/ matemáticas]? donde [matemáticas] r> 10 [/ matemáticas]

¿Qué significa esto?

Significa que si algo “existe” matemáticamente o no depende del sistema que esté usando para hablar de ello.

Entonces, en respuesta a la pregunta básica, “¿existe el número 1?” Sí, lo hace: en varios sistemas axiomáticos comenzamos definiendo [matemática] 0 [/ matemática] de alguna manera, y una función “sucesora” [matemática] S [/ matemática] que actúa sobre [matemática] 0 [/ matemática]. El resultado de esta operación [matemática] S (0) [/ matemática] se define como el número [matemática] 1 [/ matemática], y el resultado de [matemática] S (1) [/ matemática] se define como el número [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Continuamos este proceso hasta el infinito para generar el conjunto de números naturales, generalmente denotados [math] \ mathbb {N} [/ math].

Dependiendo de cómo comenzó, puede usar los axiomas de Peano para construir aritmética, o tiene un sistema más fundamental (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con o sin el axioma de elección, en este nivel, o el cálculo Lambda) en que puede definir las operaciones habituales de suma, multiplicación, etc., en las cuales los axiomas de Peano se convierten en teoremas.

En este sentido, el número [math] 1 [/ math] definitivamente existe, porque construimos cosas desde un principio simple, y cosas como números enteros, números racionales, números reales, etc., se definen después (construidos, de hecho, ) los números naturales ([matemática] 1 [/ matemática] incluida).

Lo que debe sacar de esto es que cuando comenzamos a numerar, comenzamos con cero y “contamos” agregando 1.

¿Qué significa tener un número real cuya expansión decimal es [matemática] 0.0… 01 [/ matemática], con infinitos ceros antes del dígito [matemática] 1 [/ matemática]?

Pregúntese, ¿cuál es la diferencia entre ese número y cero?

Está estrechamente relacionado con la igualdad [matemáticas] 1 = 0. \ bar {9} [/ matemáticas] (para lo cual existen muchas pruebas, y muchas discusiones incluso sobre Quora).

Estás haciendo bien en reflexionar sobre lo que significa tener un número racional o real más pequeño (o menos positivo). Para cualquier número real [math] \ epsilon> 0 [/ math] que afirmo es el número real más pequeño, siempre puede construir [math] \ tfrac {\ epsilon} {x} 1 [/ matemática], que es una buena manera de darse cuenta de por qué no comenzamos a numerar con algo tan extraño como [matemática] 0.0… 01 [/ matemática].

De hecho, cualquier sistema de numeración es solo una notación conveniente para representar números. ¡Las representaciones de números no deben confundirse con los números mismos!

Te pregunto, ¿eres tu nombre o eres algo diferente, con tu nombre como una etiqueta conveniente para representarte ante otras personas?

Permítanme abordar ahora las subpreguntas numeradas una por una:

1. Tiene razón en que no podemos comenzar a numerar con [matemática] 0.0… 01 [/ matemática], porque ese número, si tiene sentido definir alguna expansión decimal de esa manera, sería igual a [matemática] 0 [/ matemática].
2. La operación aritmética de la división está perfectamente bien definida, y cualquier número real puede dividirse por cualquier número real distinto de cero. En el modelo de aritmética ZFC, los enteros se definen como “pares ordenados” de números naturales (después de que los naturales se definan como arriba en términos de sucesores de cero) de tal manera que si el primer número del par es mayor que el segundo, el resultado es un número entero positivo y viceversa (y si ambos números en el par son iguales, el número entero que representan es cero *). Los números racionales se definen como pares ordenados de enteros, de modo que si el primer número tiene una magnitud mayor que el segundo, la relación que describe tiene una magnitud mayor que [matemática] 1 [/ matemática], y si el segundo número es menor, la magnitud del racional así definido es menor que [matemática] 1 [/ matemática] (y por supuesto mayor que [matemática] 0 [/ matemática]). Si los dos enteros en el par ordenado son iguales, el resultado es equivalente a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] **. Los llamados números “reales” son más complicados y sutiles de definir (y se puede hacer de muchas maneras), pero “llenan los espacios” que quedan abiertos en los números racionales, hasta cierto punto.
3. Un número es una abstracción. Lo que representa depende de la aplicación / definición. En el sentido de desarrollar ideas, los números naturales son buenos para contar cosas, los enteros son buenos para hacer la contabilidad básica, los números racionales son buenos para descubrir cómo distribuir cosas, y los números reales son buenos para pensar en escalar cosas. Los llamados números “complejos” (porque son complejos de dos números “reales”) son buenos para pensar en la escala combinada con la rotación.
4. El sistema de números decimales es perfectamente confiable, si acepta que tiene algunas peculiaridades, como la aparente rareza de que ciertos números pueden tener múltiples representaciones. Cuando este es el caso, (como con [math] 1 = 0. \ bar {9} [/ math]), siempre elegimos la representación “final”, siempre que sea posible. Sin embargo, esta peculiaridad de la representación múltiple ocurre en cada sistema de números base. De ahí mi advertencia de no preocuparse demasiado por lo que es un número, en comparación con cómo lo representamos . El número positivo cuyo cuadrado es [matemática] 2 [/ matemática] puede representarse por [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] (que es agradable y útil en ciertos contextos), o por algún decimal (obviamente truncado) expansión [matemática] 1.414213562 … [/ matemática], que nunca termina y no se repite (útil en otros contextos, y en mi opinión no es realmente tan elegante).

Espero que hayas disfrutado leyendo esto. Las matemáticas pueden guiarlo por un conjunto de caminos muy profundos y ampliamente ramificados, algunos de los cuales tienen conexiones que nunca habría imaginado si no los hubiera recorrido. Es importante hacer preguntas básicas como estas, porque responderlas puede llevarlo a una comprensión mucho más profunda de, bueno … ¡al menos las matemáticas!

Pero la matemática tiene una larga historia de ser beneficiosa para la humanidad (tanto porque la construimos para ser útil en primer lugar), y tomarse el tiempo para comprender partes de ella rara vez es perjudicial. ¡La mejor de las suertes!

* Sí, esto significa que hay infinitas maneras de representar cada número entero. Esto es lo que llamamos una “clase de equivalencia”.
** Mismo trato: ¡cada número racional es una clase de equivalencia de pares de enteros ordenados!