La persona 1 tiene que elegir un sombrero, excepto el suyo. Eso nos da posibilidades n-1.
Supongamos que el sombrero elegido es originalmente el de la persona i. ¿Qué sombrero puedo elegir ahora? Si eligen el sombrero 1, nos quedan las personas {2 … i-1, i + 1 … n} y los sombreros correspondientes. Ahora tenemos n-2 personas y n-2 sombreros con la restricción de que nadie debe elegir su propio sombrero. Así es como se produce el! (N-2).
El otro caso es el que confunde a la mayoría de las personas. Tenemos personas {2 … n} y sombreros {1 … i-1, i + 1 … n}. La persona i no puede tomar el sombrero 1 (esos trastornos ya han sido cubiertos en! (N-2)). Las personas restantes no pueden elegir sus propios sombreros. Cambiemos la etiqueta de hat 1 a hat i ahora. Esto nos dejaría con personas {2 … n} y los sombreros correspondientes. Después de la renumeración, la restricción se simplifica: nadie puede elegir su propio sombrero. Como hay n-1 personas, hay formas (n-1) de hacer esto.
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Por lo tanto! N = (n-1) (! (N-1) +! (N-2))
