Asumamos los axiomas de Peano.
Definamos la suma como una función de [math] \ mathbb N ^ 2 [/ math] a [math] \ mathbb N [/ math], como sigue, recursivamente
[math] \ forall a \ in \ mathbb N [/ math]
- ¿Cuál es la unidad cgs de corriente eléctrica?
- Si el núcleo de una transformación lineal f es ker (f) = {(0, 0, 0)}, ¿cuál es la base del núcleo?
- ¿Cómo se muestra que dos métricas son equivalentes?
- Si [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1! = 1 [/ matemáticas], entonces, ¿qué tiene de malo mi justificación de que [matemáticas] 0 = 1 [/ matemáticas]?
- ¿Cómo encontrar la suma de series [matemáticas] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nn} {(2n + 1)!} [/ Math]
[matemáticas] a + 0 = a [/ matemáticas]
[matemáticas] \ forall b \ in \ mathbb N ^ * [/ matemáticas]
[matemáticas] a + S (b) = S (a + b) [/ matemáticas]
multiplicación como una función de [math] \ mathbb N ^ 2 [/ math] en [math] \ mathbb N [/ math], como sigue, recursivamente
[math] \ forall a \ in \ mathbb N [/ math]
[matemáticas] a \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ forall b \ in \ mathbb N * [/ matemáticas]
[matemáticas] a \ veces S (b) = a + (a \ veces b) [/ matemáticas]
donde [math] S [/ math] es la función sucesora como se define en los axiomas de Peano
Entonces
[matemáticas] \ begin {align} 2 \ times 2 & = 2 \ times S (1) \\ & = 2 + (2 \ times 1) \\ & = 2 + (2 \ times S (0)) \\ & = 2 + (2 + 2 \ times 0) \\ & = 2 + (2 +0) \\ & = 2 + 2 \\ & = 2 + S (1) \\ & = S (2 + 1) \\ & = S (2 + S (0)) \\ & = S (S (2 + 0)) \\ & = S (S (2)) \\ & = S (3) \\ & = 4 \ end {align} [/ math]
Por el bien de la velocidad, ahora calculemos
[matemáticas] \ begin {align} 3 + 3 & = 3 + S (2) \\ & = S (3 + 2) \\ & = S (3 + S (1)) \\ & = S (S ( 3 + 1)) \\ & = S (S (3 + S (0))) \\ & = S (S (S (3 + 0))) \\ & = S (S (S (3)) ) \\ & = S (S (4)) \\ & = S (5) \\ & = 6 \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} 3 \ times 3 & = 3 \ times S (2) \\ & = 3 + (3 \ times 2) \\ & = 3 + (3 \ times S (1)) \\ & = 3 + (3 + (3 \ veces S (0)) \\ & = 3 + (3 + (3 + (3 \ veces 0))) \\ & = 3 + (3 + (3 +0) ) \\ & = 3 + (3 + 3) \ end {align} [/ math]
Como hemos demostrado que [matemáticas] 3 + 3 = 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} 3 \ times 3 & = 3 + 6 \\ & = 3 + S (5) \\ & = S (3 + 5) \\ & = S (3 + S (4)) \\ & = S (S (3 + 4)) \\ & = S (S (3 + S (3))) \\ & = S (S (S (3 + 3))) \ end {align} [/matemáticas]
Una vez más, [matemáticas] 3 + 3 = 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} 3 \ times 3 & = S (S (S (6))) \\ & = S (S (7)) \\ & = S (8) \\ & = 9 \ end {alinear} [/ matemáticas]
Entonces, en la medida en que evolucionas en un conjunto de números naturales que está siguiendo los axiomas de Peano,
[matemáticas] 3 \ veces 3 = 9 [/ matemáticas]
por exactamente las mismas razones por las cuales
[matemáticas] 2 \ veces 2 = 4 [/ matemáticas]
Ahora, por supuesto, podríamos refutar la axiomaticidad de los postulados de Peano, pero ¿realmente quieres ir por ese camino?
