Para hacer la teoría de String, resulta que necesitas agregar dimensiones adicionales al espacio-tiempo: en un enfoque necesitas algo como seis dimensiones adicionales que provienen de lo que se llama una variedad Calabi-Yau. Cualquier elección de tal múltiple le da una versión de la teoría de cuerdas.
Ahora, a veces resulta que hay dos variedades Calabi-Yau de aspecto muy diferente que, sin embargo, dan versiones equivalentes de la teoría de cuerdas. Esta es una forma de describir la simetría Mirror (teoría de cuerdas) , que se originó en la física pero que ahora también es un tema activo de exploración en matemáticas. Una forma matemática de describir lo que esto debería significar es en particular que un Calabi-Yau le ha asociado un diagrama de números llamado su diamante Hodge (teoría de Hodge) y los diamantes Hodge de dos Calabi-Yaus espejo son “espejo” para cada uno. otro. Hay ejemplos en el artículo de Wikipedia.
Pero la simetría de espejo es más que diamantes de Hodge: para comprenderla matemáticamente necesitamos una descripción matemática de lo que significa “versiones equivalentes de la teoría de cuerdas”. Las descripciones que conozco solo describen una versión más simple de la teoría de cuerdas llamada Teoría de cuerdas topológica. Witten describió dos formas de hacer esto, el modelo A y el modelo B, y la simetría del espejo debería decir aproximadamente que estudiar el modelo A en un Calabi-Yau es lo mismo que estudiar el modelo B en su espejo.
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Kontsevich conjeturó (simetría del espejo homológico) que una forma de hacer esto matemáticamente preciso es en términos de la categoría Fukaya. Las categorías de Fukaya deberían describir el modelo A, mientras que los objetos matemáticos más familiares llamados categorías de gavillas coherentes (gavilla coherente) deberían describir el modelo B.
Sería muy bueno saber la conjetura de Kontsevich porque relaciona dos tipos de matemáticas que a priori no tienen una relación obvia entre sí, y generalmente es algo bueno para buscar. En particular, la simetría especular, como muchas otras dualidades en matemáticas (como la transformación de Fourier), debería ser capaz de convertir los problemas difíciles en una variedad en problemas fáciles en la otra. Un ejemplo famoso es que un grupo de físicos pudo usar la simetría de espejo para predecir correctamente la respuesta a un problema en geometría enumerativa que había dejado perplejos a los matemáticos (quíntuple triple). (Cuando hicieron esto, un grupo de matemáticos respondió con un documento en el que utilizaron técnicas matemáticas más tradicionales para calcular una respuesta diferente, ¡y los matemáticos resultaron estar equivocados!)
